4. Функция дожития – безусловная и условная. Её связь с другими демографическими функциями.

Функция дожития – непрерывная функция возраста S(x), означающая долю лиц доживших до возраста Х.

S(x) – вероятность для наугад выбранного лица из данной совокупности родившихся дожить до возраста x.

T – Продолжительность жизни для такого лица.

Безусловная вероятность:

S(x)=Pr [T≥x]

Если через T_x обозначить остаточную продолжительность жизни для наугад выбранного лица возраста х, т.е. время, котороые это лицо еще проживет, достигнув возраста х, то число

S_х (t) =P(Т_х ≥ t)

Будет обозначать условную вероятность

_t p_x =Pr(Т ≥ х+t/ Т ≥ х)

достижения возраста x+t для лица, достигшего до х лет. Откуда следует, что

5. Функция распределения продолжительности предстоящей жизни и её связь с функцией дожития.

Функция дожития – непрерывная функция возраста S(x), означающая долю лиц доживших до возраста Х.

S(x) – вероятность для наугад выбранного лица из данной совокупности родившихся дожить до возраста x.

T – Продолжительность жизни для такого лица.

Дополнение функции дожития до 1, то есть функция

F(x) =P(Т < х)=1-S(x)

Называется функцией распределения продолжительности жизни, то есть вероятность того, что данное родившееся лицо не доживет до возраста х.

6. Интенсивность смертности и её связь с функцией дожития.

Доля лиц, умирающих в ед. времени в промежутке [ x,x+1] – средняя скорость вымирания лиц, достигших возраста х

Интенсивность (сила) смертности (force of mortality)

Функция дожития через интенсивность смертности:

Условная функция дожития через интенсивность смерти:

т.к.

7. Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов. Линейный подход.

X=k+u ; k=[x] ; u={x} ; 0≤u≤1

S(x)=S(k+u)

l_x и S(x) линейны на [k;k+1]

l_x=l_k+u= l_k+u(l_k+1- l_k)= l_k-u*d_k

S(x)=S(k+u)= S(k)+u*[ S(k+1)- S(k)]= S(k)*[1- u*q_k ]

S’(k+u)= -S(k)*q_k => μ_k+u= q_k /(1-u*q_k)

_up_k=1-u*q_k

8. Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов. Условие постоянства силы смертности.

X=k+u ; k=[x] ; u={x} ; 0≤u≤1

S(x)=S(k+u)

Условие постоянства силы смертности:

(μ_х= μ_k+u= μ_k )

=> имеем exp на [k;k+1]

9. Интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов. Условие Балдуччи.

X=k+u ; k=[x] ; u={x} ; 0≤u≤1

S(x)=S(k+u)

Условие Балдуччи: 1/S(x) линейны на [k;k+1]

10. Средняя продолжительность жизни – полная и округленная, их связь.

Полная средняя продолжительность оставшейся жизни индивида в возрасте х – математическое ожидание Т_х.

Выражается через функцию дожития

Округленная продолжительность жизни в возрасте х.

Если учитывать, что S(x) линейна на [x+k;x+k+1], то получаем следующую связь:

e_x^o=e_x+1/2