Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Пусть функция f(x) на отрезке [-r ; r] имеет производные любого порядка. По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа , где Пусть последовательность производных равномерно ограничена : . Тогда для остатка справедлива оценка равномерно, т.е. ряд Тейлора равномерно сходится к функции f(x). Кроме того, он сходится и абсолютно, т.к. мажорируется сходящимся рядом Имеющимися рассуждениями доказана теорема, приведенная ниже.

Теорема. Если на отрезке [-r ; r] функция f(x) бесконечно дифференцируема, последовательность n-ых производных равномерно ограничена, то функция разлагается в ряд Тейлора , который сходится абсолютно и равномерно.

Разложение в степенной ряд функций e^x, sin(x), cos(x), sh(x), ch(x).

1. Рассмотрим на отрезке [-r ; r]. Так как , справедлива оценка для остатка .

2. Рассмотрим . Поскольку , а значение sin(x), cos(x) достаточно знать для углов , так как все остальные значения вычисляются по ним с помощью формул приведения, то Оценка остатка будет иметь вид .

3. Для косинуса те же рассуждения, что и для синуса, разница только в оценках:

4. Разложение для Sh(x), Ch(x) найдем вычитая и складывая половины от разложений e^x , e^-x:

Биноминальный ряд.

Рассмотрим ряд Тейлора для бинома f(x)=(1+x)^m , x>-1, где показатель не является целым неотрицательным. Производная:

. (2)

При n>m , x<0 не ограничена, поэтому не выполняются указанные выше достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Коэффициенты Тейлора:

Отличны от нуля при всех n и удовлетворяют равенству .

Ряд Тейлора для бинома имеет вид .

Несобственные интегралы 1-го рода.

Определение. Пусть функция f(x) определена при и имеет определенные интегралы . Эти интегралы называются частными. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом 1-го рода и обозначается , при этом говорят, что интеграл сходится. В противном случае – расходится.

Свойства несобственного интеграла:

1. Для сходимости интеграла на луче [a , необходима и достаточна его сходимость на лучах при любом с>a. При этом

2. Из сходимости следует сходимость .

Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.

1. Метод двойной подстановки. Пусть известна такая функция F(x), что F’(x)=f(x) при , тогда .

2. Интегрирование по частям

3. Метод замены переменной. , тогда

Критерий Коши сходимости интеграла.

Вначале вспомним кое что из теории пределов. Для существования конечного предела функции F(x) на бесконечности ) необходимо и достаточно по критерию Коши, чтобы |F(c)-F(b)|->0 при . Здесь частный интеграл .

Теорема. Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы

Критерий сходимости интеграла от положительной функции.

Пусть при функция , тогда частный интеграл является неубывающей функцией. По критерию существования конечного предела монотонной функции на бесконечности, функция должна быть ограниченной. Итак,

Теорема. Если , то для сходимости интеграла необходима и достаточна ограниченность множества всех частных интегралов.

Признаки сравнения интегралов от положительных функций.

1. Пусть при достаточно больших х . Тогда если . Доказательство. Проводится аналогично соответствующему признаку сравнения для числовых положительных рядов, с применением критерия сходимости интеграла.

2. Пусть существует предел .

3. Пусть при достаточно больших х. Тогда если

Абсолютная сходимость и абсолютная сходимость интеграла

Определение. Интеграл будем называть абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Так же, как и для числовых рядов, из абсолютной сходимости следует сходимость (это так же доказывается по критерию Коши). При этом справедлива оценка .

Признаки сходимости абсолютно сходящихся интегралов.

1. 

2. Если существует конечный предел сходится абсолютно, то тоже сходится абсолютно.

3. Если a>0 , p>1, при достаточно больших х, то интеграл сходится абсолютно.

Достаточный признаки сходимости Дирихле-Абеля.

Признак Абеля.

­Теорема. Пусть функции f(x), g(x) определены при , причем функция f(x) непрерывна, функция g(x) гладкая. Тогда, если выполняются следующие условия:

- интеграл сходится;

- производная g’(x) знакопостоянная при достаточно больших х,

Тогда интеграл сходится.

Признак Дирихле.

Теорема. Пусть функции f(x), g(x) определены при , причем f(x) – непрерывна, g(x) – гладкая. Тогда, если выполняются следующие условия:

- множество интегралов ограничено;

- производная g’(x) знакопостоянна при достаточно больших х,

Тогда интеграл сходится.

Главное значение несобственного интеграла 1-го рода по Коши.

Определение. Пусть функция f(x) определена на прямой и интегрируема на каждом отрезке, принадлежащем этой прямой. Будем говорить, что функция f(x) интегрируема по Коши, если существует предел . Этот предел будем называть главным значением несобственного интеграла от функции f(x) в смысле Коши и обозначать .

Когда мы рассматривали определенные интегралы от четных и нечетных функций на отрезке вида [-a ; a]. Из полученных выше результатов следует, что, если функция f(x)- нечетная, то , если f(x)- четная, то

Несобственный интеграл 2-го рода, понятие и основные свойства.

Определение. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [a ; b) и не ограничена вблизи точки b, которую в этом случае будем называть особой. Пусть для любого существуют определенные интегралы , которые будем называть частичными интегралами. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом 2-го рода и обозначается

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 2-го рода.

Несобственный интеграл 2-го рода сходится тогда и только тогда, когда имеет место следующее утверждение:

Абсолютная сходимость и сравнение.

Определим абсолютную сходимость так же, как обычно – сходимость интеграла от модуля функции. Признаки сравнения аналогичны приведенным выше для несобственного интеграла 1-го рода. Приведенные здесь признак – это признак абсолютной сходимости, содержащий степенную функцию.

1. Если , то интеграл абсолютно сходится. (В частности, если ).

2. Если , то интеграл расходится.

(В частности, если при ).

Так же, как и для несобственного интеграла 1-го род, дли интегралов 2-го рода могут быть сформулированы признаки Дирихле и Абеля.

Главное значение несобственного интеграла 2-го рода по Коши.

Определение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a , b], кроме, быть может, особой точки . Будем говорить, что эта функция интегрируема по Коши, если существует . Его значение будем называть главным значением несобственного интеграла от функции f(x) в смысле Коши и будем обозначать его .

Вычисление несобственного интеграла 2-го рода.

1. Метод двойной подстановки. Если существует конечный или бесконечный предел F(b-0), то . В случае, если функция F(x) определена и непрерывна в точке b, то .

2. Метод интегрирования по частям. Смотреть формулу для определенного интеграла.

3. Метод замены переменной. В результате применения замены может возникнуть несобственный интеграл 1-го или 2-го рода, или определенный интеграл.

Связь между интегралами 1-го и 2-го рода.

Интегралы 1-го и 2-го рода заменой переменной всегда могут быть сведены друг к другу. Так, если a – особая точка, то можно применить подстановку .

Если особая точка , а интегралы сходятся на участках [a,c],[c,b], тогда, по определению, . В случае расходимости одного из последних двух интегралов, интеграл на отрезке [a,b] также расходится.