Маятники: пружинный, физический, математический. Периоды их колебаний

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m. Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения. Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей. Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела. Математический маятник — осциллятор, представляющий из себя механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период пружинного маятника Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний: . Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g приближенно равен

Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Амплитуда, частота и период затухающих колебаний.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата. Модель пружинного маятника. B — механизм, обеспечивающий затухание. F — внешняя сила (в примере не присутствует). Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение). Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так: где F_c — сила сопротивления, F_y — сила упругости F_c = − cv, F_y = − kx, то есть ma + cv + kx = 0 или в дифференциальной форме где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления. Для упрощения вводятся следующие обозначения: Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания. Тогда дифференциальное уравнение принимает вид Сделав замену x = e^λt, получают характеристическое уравнение Корни которого вычисляются по следующей формуле [править] Решения

Зависимость графиков колебаний от значения ζ В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта. Апериодичностбь Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид: В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают. Граница апериодичностиЕсли , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является: В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание. Слабое затухание Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня Тогда решением исходного дифференциального уравнения является Где  — собственная частота затухающих колебаний. Константы c₁ и c₂ в каждом из случаев определяются из начальных условий:

- период затухающих колебаний