5. Необходимые условия первого порядка

Их дает следующая теорема Каруша-Джона

Теорема 5 (необходимые условия Ф. Джона). Предположим, что: функции g(j) при I не принадлежащей I(x*) дифференцируемы в точке х*; функции f и g(j) при i принадлежащей I(х*), i > m(1) дифференцируемы, а функ­ции g(j) при i меньше либо равно m(1) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности этой точки. Тогда, если х* — локальное решение задачи (2.1.1) - (2.1.3), то существуют число у(0)со звездочкой >либо= 0 и вектор у* = (у*(i))в степени m1 , не равные нулю одновременно и удовлетворяющие следующим условиям:…………

Замечание 10. В задаче (2.1.1) - (2.1.3) "подозрительными на экстремум" являются допустимые точки, для которых либо вы­полняются условия (2.1.2), (2.1.3) и (2.4.1) - (2.4.3), либо нару­шены условия гладкости, наложенные на функции f,gi, ..., g_m теоремой 5. При этом значения у*(0), ..., у*_т определены с точно­стью до положительного множителя: если набор (…у*(0),…У*) удовле­творяет условиям теоремы 5, то набор (…у* (0)/…у*) при … > 0 то­же удовлетворяет этим условиям. Поэтому можно считать, что у*(0) принадлежит (0,1)

Таким образом, при y(0) принадлежит {0,1} для определения значений п + m переменных х1, ..., x(n), y₁ ..., у_(m) имеем п+ т уравнений: п уравнений

…………………

описанных векторным равенством (2.4.1), m1 уравнений (2.1.2) и m — m1 уравнений (2.4.2); кроме того, у не принадлежащих 0 при у₀= 0 и (у_т1+1,...,у_т) >либо=О по (2.4.3).

Числа у*(0), у*(1), ….у*_т— это множители Лагранжа для зада­чи (2.1.1) —(2.1.3). Подчеркнем, что теорема 5 не ограничивает по знаку множители Лагранжа, соответствующие ограничени­ям-равенствам. Равенства (2.4.2) называют условиями дополня­ющей нежесткости; они требуют, чтобы множители Лагранжа, соответствующие неактивным ограничениям, были равны нулю (или, эквивалентно, чтобы ограничения, соответствующие поло­жительным множителям Лагранжа, были активны).

Замечание 11. С учетом (2.1.3) и (2.4.3) условия дополняю­щей нежесткости можно сформулировать так: если i > m1, то g(i)(x*) — b(i) <либо= 0 с равенством при у* > 0. Если дополнить (2.4.2) требованием положительности множителей Лагранжа для ак тивных ограничений-неравенств (g(i)(х*) = b(i) влечет у*(i)>О при i >m1), то получим условия строгой дополняющей нежестко­сти. Они требуют, чтобы в произведении у*(i) (g(i)(х*) — b(i)) для i>т1 один и только один сомножитель был равен нулю.

При у*(0) =0 точка х* не содержит информации о градиенте ЦФ, а проверка оптимальности таких точек существенно затруднена (см. пример 2 на с. 41). Это объясняет интерес к регулярным точ­кам, которые в §2.3.3 были определены для классической зада­чи условной оптимизации, а для общей задачи нелинейного про­граммирования определяются следующим образом.

Определение. Если набор (х, у(0),у) при у₀>О удовлетворяет условиям (2.1.2), (2.1.3) и (2.4.1) - (2.4.3), то х — регулярная точка задачи (2.1.1)- (2.1.3).

Теорема 6 (достаточное условие регулярности). Пусть х* принадлежит X, векторы Vg(i)j(x*) для i е I(х*) (градиенты активных в точке х* ограничении) линейно независимы и существуют у*(0)>либо= 0 и у*, не равные нулю одновременно и такие, что набор (х*, у(0), у*) удовле­творяет условиям(2.4.1) -(2.4.3). Тогда у*(0) >О, х* —регулярная точка задачи (2.1.1) - (2.1.3), а все векторы множителей Лагран­жа для точки х* пропорциональны (у*(0), у*) и имеют вид с (у*(0), У*) , с >О