Уравнение волны

Рассмотрим случай, когда в упругой среде исходный объем V_о материального тела изменяется во времени по закону:

V = V_о + V₁ cos t

(V₁- амплитуда колебаний объема).

Если радиус объема r << R - расстояния, на котором вдоль оси Х исследуются колебания молекул среды, то можно считать, что тело является материальной точкой, совпадающей с началом координат. При периодическом изменении объема поверхность заставляет колебаться молекулу вдоль оси Х, исходное положение которой совпадает с началом координат Х = Xm cos t.

В результате распространения механической волны вдоль оси Х колебания молекул на расстоянии R будут запаздывать от колебаний в начале координат на время t, необходимое для прохождения волной расстояния R. Поэтому колебания в точке с координатой Х = R можно представить ( см. рис. 41):

Рис. 44

Х = X_m cos (t - ), где X_m - амплитуда колебаний поверхности тела S вдоль оси Х, время запаздывания. Если скорость распространения колебательного процесса в среде С, то:  = R/C.

Частота колебаний, как известно, связана с периодом соотношением:  = 2  /T, где Т - период колебаний. Уравнение колебательного движения частиц среды во времени t на расстоянии R от источника будет иметь вид:

Х = X_m cos 2 (t/T - R/СТ)

Расстояние, которое проходит волна за один период называется длиной волны  = СТ. Тогда:

Х = Х _m cos 2(t/T - R/) [2]

Последнее соотношение называется уравнением волны. Оно описывает процесс колебаний (смещения частиц среды относительно своего положения равновесия) в зависимости от времени t и расстояния R от источника колебаний.

Энергетические характеристики волны

Если механическая волна проходит через некоторый объем среды V, то заключенная в нем масса m частиц будет совершать колебательное движение. Как было показано выше, колеблющаяся масса m обладает полной механической энергией:

Е = (m^ Х_o²)/2.

Если массу частиц выразить через плотность  и объем V, m = V, то полная энергия частиц будет равна:

Е = (V^X_o²)/2

В связи с тем, что механическая энергия зависит от объема, данная характеристика не очень удобна для практического использования. Чаще применяют удельную плотность энергии - количество энергии в единице объема пространства, через который распространяется механическая волна:

W = E/ V = ( ^X_o²)/2 (Дж/м³ )

Физический смысл этой величины заключается в том, что она показывает, какое количество энергии механической волны содержится в единице объема упругой среды. В процессе распространения механическая волна переносит энергию в пространстве. Для описания этого процесса используется понятие интенсивность или плотность потока мощности. Интенсивность волны определяется как произведение скорости распространения С на удельную плотность энергии W:

I = C W = (С ^ X_o²)/2; [ I ] = Джм/м³с = Вт/м²

Произведение скорости распространения волны на плотность среды называется механическим импедансом Z = C  . С учетом всего сказанного:

I = (Z^ X_o²)/2 [3]

Обратим внимание на важное обстоятельство: интенсивность является векторной величиной (произведение вектора скорости С на скаляр - плотность энергии W), совпадающей с направлением распространения волны. По своему физическому смыслу эта характеристика показывает, какую мощность переносит волна через единичную площадку, расположенную перпендикулярно вектору скорости С.

Если механические волна встречает на своем пути препятствие, она оказывает радиационное давление P в направлении своего распространения. Как показывает детальный физический анализ, величина этого давления зависит от интенсивности:

Р =

Выражая интенсивность волны через параметры волнового процесса, давление можно представить в виде:

P =

Поскольку произведение частоты волны  на максимальное смещение Хо представляет амплитуду скорости колебаний молекул V_m = Xo, радиационное давление равно:

Р = ZV_m. [4]

Из последнего равенства проясняется физический смысл механического импеданса Z. Эта характеристика среды определяет амплитуду скорости колебаний частиц среды V_m при действии давления Р: V_m = P/Z.

ОТРАЖЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ МЕХАНИЧЕС-

КИХ ВОЛН

Если механическая волна достигает границы раздела двух сред, (см. рис. 45) то происходит ее отражение и во вторую среду попадает только часть энергии. Для количественного описания этого процесса используют коэффициент отражения отношение интенсивности отраженной к интенсивности падающей волны k = I/Io. Как

Рис. 45. Показывает тщательный теоретический анализ, коэффициент отражения зависит от соотношения механических импедансов сред по обе стороны от

от границы раздела:

k = [5]

где Z₁ и Z₂ соответствующие импедансы первой и второй среды. Из приведенного соотношения следует, что отражение будет выражено тем больше, чем сильнее различаются импедансы сред. Так например, для воды, в которой скорость распространения механической волны порядка 1500 м/с, а плотность 1000 кг/м³, механический импеданс равен 1,510⁶ кг/м²с, для воздуха эта величина Z = 3301,29 = 425,7 кг/м²с. Поэтому в рассматриваемом случае коэффициент отражения будет:

k = (1,510⁶ - 425,7)² : (1,510⁶ +425,7)² = 0,9988 [6]

т.е. почти равен 1. Это значит, что на границе водной и воздушной сред происходит практически полное отражение энергии.

В процессе распространения механических волн в упругих средах часть энергии тратится на преодоление вязких сил сопротивления, и поэтому интенсивность уменьшается тем сильнее, чем большее расстояние Х проходит волна. Закон, описывающий энергетические потери выглядит следующим образом:

I = Io e ^X

Здесь обозначено : I - интенсивность волны на расстоянии Х от источника, Io - интенсивность, излучаемая источником механических волн,  - коэффициент поглощения, е = 2,71 - основание натуральных логарифмов. Чем больше коэффициент поглощения  тем значительнее поглощается механическая энергия на единицу проходимого пути Х. Величина  зависит от свойств среды и параметров волны. К примеру, чем больше частота, тем сильнее поглощается механическая энергия.

ОСНОВЫ БИОАКУСТИКИ

В биоакустике изучают свойства звуков, механизмы их восприятия и воспроизведения, а также физические принципы звуковых методов для диагностики состояния организма.

ФИЗИЧЕСКИЕ И БИОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗВУКОВ

Звук представляет субъективное ощущение, которое возникает при воздействии на орган слуха механических волн в диапазоне частот от 16 до 20000 Гц. Волны, частота которых меньше 16 Гц называются инфразвуковыми, а с частотой выше 20000 Гц - ультразвуковыми. Хотя эти колебания не воспринимаются органом слуха, они способны вызывать весьма выраженные биологические эффекты. Именно на биотропности ультразвука основано его широкое применение в медицине.

В зависимости от характера спектра все звуки можно разделить на три группы: чистые тоны, музыкальные звуки и шумы. Чистый тон характеризуется тем, что колебания осуществляются на одной частоте. Его спектр (зависимость амплитуды колебаний от частоты), представлен на рисунке 46(а).

С изменением частоты тона изменяется характер

Рис. 46 восприятия. Для описания этих ощущений используется понятие высоты тона. Чем больше частота, тем выше воспринимается тон. Поэтому наиболее низкий тон, который ощущает ухо - это звук на частоте 16 Гц, самый высокий - на частоте 20000Гц.

Музыкальные звуки содержат набор колебаний с различными частотам, причем более высокие частоты кратны самой низкой частоте:

f₁ = f_o, f₂ = 2f_o , f₃ = 3_o и т.д.

Звук с самой низкой частотой f называется основным тоном, звуки с большими частотами - обертонами. В зависимости от содержания колебаний с различными частотами и соотношениями амплитуд изменяется характер восприятия. Поэтому различают окраску музыкальных звуков или тембр. Чем больше амплитуды высокочастотных составляющих, тем выше кажется тембр звука. Спектральная характеристика музыкального звука представлена на рисунке 46 (b).

Шумы отличаются от предыдущих звуков тем, что они имеют сплошной спектр - т.е. колебания со всеми частотами в некоторой области звукового диапазоне (см.рис. 44). В зависимости от положения этого диапазона различают низкочастотный (1), высокочастотный (3), среднечастотный

(2) и белый шум (4).

Рис. 47

Белый шум характеризуется тем, что он содержит все колебания, приблизительно одинаковых амплитуд во всем звуковом диапазоне. Шумы оказывают весьма неблагоприятное влияние не только на орган слуха но и на весь организм. При длительном воздействии высокоинтенсивного звука развивается шумовая болезнь, при которой наряду с поражением органа слуха нарушается деятельность нервной и сердечно-сосудистой системы. Особенно опасен белый шум. Поэтому очень важно контролировать интенсивность шума и его спектр на производстве, транспорте, в окружающей среде. Для исследования физических параметров шума (его спектра и интенсивности) используются специальные приборы - шумометры.

Важной характеристикой субъективного восприятия звуков служит его громкость. Понятно, что сила восприятия должна быть связана с интенсивностью звука: чем выше интенсивность, тем больше действующее на орган слуха давление и соответственно механическая сила. Однако эта зависимость между интенсивностью и громкостью нелинейна. Как свидетельствует экспериментально обоснованный психофизический закон Вебера-Фехнера, сила субъективного восприятия не только звуков, но и большинства других раздражителей пропорциональна логарифму их интенсивности: S = k lg I. Здесь обозначено S- сила сенсорного восприятия (от слова sense - чувство, восприятие) I - интенсивность раздражителя (в нашем случае интенсивность звука), k - коэффициент пропорциональности. Очевидно, ощущение звука возникает лишь в том случае, когда его интенсивность будет превосходить некоторую минимальную величину - интенсивность порогового восприятия. Поэтому закон Вебера-Фехнера следует записать в несколько измененном виде:

S = k (lg I - lg Io) = k lg (I/Io)

Это соотношение показывает, что слуховое ощущение возникает лишь тогда, когда интенсивность действующих звуков I > Io. Если I = Io, то громкость звука принимается равной нулю. Как показывают многочисленные исследования, средняя величина пороговой интенсивности: Io = 10^-12 Вт/м² .

Для выбора единицы громкости необходимо определить величину коэффициента k. Если k = 1, то единица громкости называется Белом. Определим, какова должна быть интенсивность звука в 1 Бел. Очевидно:

1 Бел = lg(I/Io), где I интенсивность звука, имеющая громкость в 1 Бел. Тогда:

10¹ = I/Io , или I = 10 Io.

Таким образом, ощущение громкости звука в 1 бел создает такая механическая волна, интенсивность которой превосходит пороговую в 10 раз. Это очень большая величина, и поэтому на практике используется единица громкости в 10 раз меньшая - децибел. В данном случае коэффициент k выбирают равным 10. Тогда для построения шкалы шкалы громкости воспринимаемых звуков используется зависимость:

S = 10 lg(I/Io)

Громкость звука в 1 децибел создает звук с интенсивностью I: 1 дБел = 10 lg (I/Io) или 0,1 = lg (I/Io). Если пропотенцировать это соотношение, то получим:

10^0,1 = (I/Io) или 1,26 = (I/Io).

Громкость звука в 1 децибел ощущается тогда, когда на орган слуха действует звуковая волна с интенсивностью I, превышающую пороговую в 1,26 раза.

С увеличением интенсивности громкость звуков возрастает по логарифмической зависимости и пpи величине I = 10 Вт/м² механическая волна вызывает в органе слуха ощущение боли. Поэтому такая интенсивность называется порогом боли.

Орган слуха воспринимает и различает по громкости механические волны в области интенсивностей от 10^-12 до 10 Вт/м² . Поэтому вся шкала громкости, соответствующая этим величинам лежит в диапазоне от 0 дБел до порога боли, соответствующего в шкале громкости 130 дБел:

S_боли = 10 lg(10/10^-12) = 10 lg 10¹³ = 130 дБел.

Чувствительность органа слуха не одинакова к звукам с различными частотами. Наиболее восприимчиво ухо в области частот 1000 - 3000 Гц. Как при более высоких, так и низких частотах для восприятия звуков требуется увеличение интенсивности по сравнение с минимальной Io = 10^-12 Вт/м².

Зависимость пороговой интенсивности от частоты называется кривая слышимости (или кривая порога восприятия). Изучение кривой слышимости представляет собой очень важную медицинскую проблему, поскольку эта зависимость характеризует состояние нашего слухового прибора. Измерение этой зависимости - аудиометрия, проводится с помощью специальных приборов - аудиометров. Аудиометр представляет собой генератор переменного электрического напряжения с частотами, лежащими в звуковом диапазоне. Электрические колебания с помощью телефонных наушников преобразуются в звуковые, и регулируя величину напряжения, можно изменять громкость звуков, которые воспринимает испытуемый.

Интенсивность болевого ощущения также зависит от частоты. На рисунке 48 (а) приведены кривые, Характеризующие зависимость порога вос-

Рис. 48 приятия (1) и боли (2) от частоты звука для нормального уха, а на рис. 45b при снижении чувствительности звуковосприятия (2) по сравнению с нормой (1).

Кривая слышимости и болевого порога ограничивают всю область звуков R, которые способно воспринимать ухо человека (заштрихованная часть на рис. 45).