Система, модель системы.

Исследуемой системой (оптимизирумой системой) будем называть всякий экономический или технический объект (регион, завод, производственный участок, самолет, отдельный узел или агрегат технического устройства и т.д.).

Состояние любой реальной системы характеризуется достаточно большим числом параметров (переменных), отличающихся друг от друга в общем случае различной степенью влияния на эффективность функционирования системы. Учесть все параметры практически не представляется возможным, поэтому переходят к модели системы – это идеализация рассматриваемого явления или системы. Процесс построения модели является весьма трудоемким. Удачно выбранная модель во многом определяет успех предпринимаемого исследования. Выбор того или иного варианта модели базируется на четком представлении о специфических особенностях системы. Из множества переменных, характеризующих состояние системы, отсеиваются менее существенные и оставляются те, которые наиболее ярко отражают специфику системы. Переменные должны быть независимыми, количество их по возможности наименьшим, диапазон их возможных значений должен быть определен. Таким образом, под моделью системы (рассматриваемого явления) будем понимать набор уравнений (алгебраических, дифференциальных) и неравенств, которые, отражая взаимосвязь переменных, ограничивают вместе с тем область допустимых изменений переменных. Если ввести в рассмотрение вектор состояния системы

,

то все перечисленные выше соотношения запишутся в следующем виде

;

, ; (1)

Будем различать динамическую и статическую модель системы. Если соотношений (1) не содержат время t, то модель статическая, в противном случае – динамическая.

Критерии оптимальности.

Для решения любой задачи оптимизации необходимо выбрать критерий оптимальности. Критерий (греч.) – мера (признак), на основе которой производится сортировка или выбор наиболее приемлемого решения. В качестве критерия могут выступать записанные в виде аналитических выражений важные экономические характеристики, такие, как валовые капитальные затраты, издержки или чистая прибыль в единицу времени, доходы от инвестиций и т.п. В других приложениях критерий может основываться на технологических факторах, это продолжительность процесса производства изделия, темпы производства, количество потребляемой энергии и т.д.

Важно отметить, что оптимизироваться может только один критерий в задаче. Нельзя требовать, например, минимума затрат на производство какого-либо продукта и вместе с тем еще и минимума потребляемой при этом энергии. Как правило, в задаче «напрашиваются» несколько критериев, но они противоречивы. В такой ситуации один критерий определяют как главный, а остальные критерии учитывают в качестве ограничений на переменные. Приведем пример, поясняющий вышесказанное. Допустим, что обсуждается проект красильного цеха. В обсуждении принимают участие «заинтересованные» лица – начальник цеха, начальник отдела сбыта и руководитель предприятия, которому принадлежит рассматриваемый цех. Вполне понятно, что начальник цеха заинтересован в минимуме ассортимента выпускаемой цехом продукции, т.к. в этом случае имеет место максимум ее производства в единицу времени. Начальнику отдела сбыта желательно иметь разнообразие в ассортименте и большие запасы готовой продукции, чтобы оперативно и наиболее полно удовлетворить запросы потребителя. Руководитель предприятия заинтересован в том, чтобы иметь, в частности, наименьшие складские запасы. Все три критерия оптимизируемыми быть не могут. Приемлемым компромиссом может быть выбор в качестве главного критерия – затраты на единицу времени, с последующим учетом вторичных условий – ограничения на ассортимент и количество выпускаемой продукции.

Будем различать критерии-функции и критерии-функционалы.

Критерии-функции – обычные функции нескольких переменных вида , где – факторы, влияющие на величину прибыли (количество продукции). Такой зависимостью может быть выражена, например, прибыль или количество выпускаемой продукции в единицу времени и т.п.

Рассмотрим далее, что представляют из себя критерии-функционалы. Дадим, прежде всего, определение функционала. Функционал – это такая величина, аргументом которой является функция. Например, рассмотрим определенный интеграл

.

Численное значение этого интеграла зависит от вида подынтегральной функции . Так, например, если , то рассматриваемый интеграл примет значение 0,5, а при – значение . Функционалы будем обозначать как , т.е. для приведенного примера

.

В более общем виде

,

где a и b – заданные пределы интегрирования, а – подынтегральная функция.

Можно придерживаться следующего определения функционала. Если – множество заданных функций и каждой функции по некоторому правилу ставится в соответствие определенное значение величины y из множества Y, то говорят, что на множестве F задан функционал Y.

Из данного определения в частности следует, что понятие функционала не обязательно связывать с операцией интегрирования. Так, например,

,

где – заданное число, также является примером функционала.

Дадим теперь определение оптимизационной задачи.

Оптимизационной задачей будем называть такую задачу, в которой фигурирует в общем случае модель (например, в виде (1)) и критерий (критерий-функция или критерий-функционал) и требуется указать такие значения параметров системы (вектор x), чтобы при выполнении всех соотношений, которые дают описание модели, критерий достигал минимума (максимума). Например, пусть затраты z предприятия при выпуске продукции некоторым известным образом зависят только от двух показателей

, (2)

где – стоимость сырья, x₂ – объем капиталовложений, причем известно, что

(3)

– заданные величины. Требуется указать такие удовлетворяющие ограничениям (3) значения и x₂, чтобы целевая функция (критерий) (2) достигла минимума.

Заметим, что обеспечение критерию, например, только минимума не ущемляет общность постановки задачи оптимизации, т.к. требование максимума для некоторого критерия J можно свести к задаче с требованием минимума для критерия . Это во-первых. Во-вторых, следует иметь в виду, что оптимизационная задача может быть поставлена так, что в ней будет фигурировать только лишь критерий, а какие-либо ограничения вида (1), т.е. то, что было определено как модель системы, отсутствовать. Это один из так называемых простейших случаев оптимизационной задачи.