“ Функции нескольких переменных ”
1) Найти и функции .
Решение Считаем переменную “y” постоянной величиной.
Считаем переменную “х” постоянной величиной.
Ответ:
2) Показать, что при .
Решение. Сначала найдем первые частные производные
Теперь находим смешанные вторые частные производные и сравниваем их.
Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось доказать.
3) Вычислить приближенно с помощью дифференциала .
Решение. Введем функцию двух переменных . Так как 2,01=2+0,01, . Аналогично , т. к. . Воспользуемся тем, что при малых и .
Так как ,
отсюда следует, что .
Заменим приращение функции ее дифференциалом ,
где .
Тогда ,
т. е. в данном случае .
Вычислим . Найдем . Для этого сначала найдем частную производную по в произвольной точке.
.
Теперь найдем
;
.
Находим искомое значение корня
.
Если найти на калькуляторе, то получим . Различие только в четвертом знаке после запятой.
Ответ: .
4) Исследовать на экстремум функцию .
Решение. Найдем сначала стационарные точки, т. е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю:
Изменим порядок во втором уравнении и приведем систему линейных уравнений к стандартному виду, чтобы ее можно было решить методом Крамера.
.
Нашли одну стационарную точку, в которой , это точка .
Выясним с помощью вторых производных, есть ли в экстремум, и, если есть, какой.
Составляем определитель .
Так как , экстремум существует. Так как , в стационарной точке функция имеет минимум. Найдем его.
.
Ответ: .
5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике со сторонами .
Решение. Так как свои наибольшее и наименьшее значения непрерывная функция может иметь или в стационарной точке внутри рассматриваемой области или на границе этой области, задачу будем решать в два действия. Найдем стационарные точки и значения функции в тех из них, которые лежат в рассматриваемой области.
2
В
1
Д
А
С
0 1
2 х
М0
Точка
не принадлежит треугольнику
(рис. 7), поэтому значение функции в этой
точке не вычисляем. Переходим ко второму
действию. Треугольник
ограничивают три прямые. Будем
исследовать функцию на экстремум на
каждой из них. Сначала найдем значения
функции в вершинах треугольника.
Рисунок 7
Рассмотрим границу : Подставляя в выражение функции, получим
Получили задачу на экстремум для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Находим при , а это значение не входит в рассматриваемый отрезок . На концах отрезка значения функции уже подсчитаны, это и .
Переходим к границе : . Подставляя в выражение функции, получим .
Снова решаем задачу для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Находим при . Эта точка входит в отрезок . Поэтому вычислим значение функции в этой точке.
.
На концах отрезка значения функции подсчитаны заранее, это и .
Рассматриваем третью границу : . Выразим и подставим в выражение функции:
.
Ищем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Находим при , а это значение не входит в . Теперь выбираем из найденных значений функции наибольшее. Это значение равно 6 в точке . А наименьшее значение принимается в двух точках: и .
Ответ: , .