- •Предмет теория электрической связи
- •Информация, сообщение, сигнал
- •Обобщенная схема системы передачи информации
- •Модели канала связи
- •Описание сигналов
- •Энергетические характеристики сигналов
- •Гармоническое колебание
- •Обобщенный ряд Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье
- •Действительный частотный спектр сигнала
- •Комплексный ряд Фурье и спектр сигнала
- •Распределение мощности в спектре периодического сигнала
- •Огибающая спектра периодического сигнала
- •Пример: периодическая последовательность прямоугольных импульсов
- •Связь между огибающей спектра периодического сигнала и спектральной плотностью непериодического сигнала той же формы
- •Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
- •Примеры. Одиночный прямоугольный импульс. Экспоненциальный импульс. Гауссов импульс
- •Линейная комбинация сигналов
- •Сдвиг сигнала во времени
- •Смещение спектра сигнала
- •Произведение двух сигналов
- •Взаимная заменяемость частоты и времени в паре преобразований Фурье
- •Преобразование Лапласа на плоскости комплексной частоты
- •Основные свойства преобразования Лапласа
- •Взаимная и автокорреляционные функции сигнала
- •Связь между автокорреляционной функцией и спектром сигнала
- •Акф периодического сигнала
- •Общие определения
- •Амплитудно-модулированные радиосигналы
- •Радиосигналы с угловой модуляцией
- •Амплитудно-частотная модуляция
- •Узкополосный сигнал
- •Классификация методов анализа прохождения сложных сигналов через линейные цепи
- •Частотная передаточная характеристика цепи
- •Переходная и импульсная характеристики цепи
- •Обоснование частотного метода
- •Чаcтотные фильтры. Классификация и основные параметры
- •Прохождение частотно-модулированных колебаний через колебательную систему
- •Колебательные цепи при импульсном воздействии
- •Сущность операторного метода
- •Примеры применения операторного метода
- •Виды случайных процессов
- •Широкополосный случайный процесс. Белый шум
- •Узкополосный случайный процесс
- •Задачи и этапы синтеза
- •Спектр дискретизированного сигнала
- •Статические и динамические параметры нелинейного элемента
- •Основные показатели и характеристики усилителя
- •Общие сведения о сигналах
- •Преобразователь частоты
Связь между огибающей спектра периодического сигнала и спектральной плотностью непериодического сигнала той же формы
Сравнивая выражения для и комплексной огибающей ряда Фурье для периодического сигнала, видим, что отличие состоит лишь в коэффициенте 1/T. Следовательно, можно записать связь .
Таким образом, если периодический сигнал образован из непериодического сигнала s(t), то можно определить огибающую амплитудного спектра через модуль спектральной плотности. Огибающая ФЧС и ФЧХ непериодического сигнала совпадают. Пусть для сигнала s(t) найдена спектральная плотность (см.рис.2, а). Тогда для построения АЧС и ФЧС периодического сигнала той же формы достаточно построить огибающие и провести линии, соответствующие частотам составляющих (рис.2,б).
а) б)
Рис. 2
Несмотря на сплошной характер спектральной плотности непериодического сигнала, для простоты её часто называют "спектром".
Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Величина
определяет полную энергию сигнала s(t).
Выразим энергию через спектральную плотность:
Следовательно,
Это соотношение носит название "равенство Парсеваля". Квадрат модуля спектральной плотности имеет смысл спектральной плотности энергии сигнала.
Примеры. Одиночный прямоугольный импульс. Экспоненциальный импульс. Гауссов импульс
Пусть дан прямоугольный импульс с амплитудой А и длительностью . На оси времени он задан положением середины импульса t0 (рис.3).
Рис. 3
Тогда аналитически сигнал можно описать следующим образом.
Определим выражение для спектральной плотности.
Если это выражение разделить на Т и подставить вместо частоту n 1 , то получим уже известное выражение для АЧС последовательности прямоугольных импульсов:
Нули модуля спектральной плотности расположены на частотах =2 k/ , где k= 1, 2,... На частоте =0 спектральная плотность равна S( 0 )=A .
На рис.4 изображены графики АЧХ и ФЧХ прямоугольного импульса с учетом знака синуса.
Рис. 4
Полная энергия импульса равна
Энергия сигнала, ограниченного первым лепестком спектральной плотности, составляет 90% мощности прямоугольного импульса.
Определим спектральную плотность экспоненциального импульса вида
изображенного на рис.5.
а) б)
Рис. 5
В этом случае
Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис.5,б. На частоте =0 S(0)=A/ ; при << ; при >> ; на частоте = . Таким образом, спектральная плотность экспоненциального импульса не имеет нулей и плавно уменьшается с увеличением частоты.
Колоколообразный (гауссовский) импульс определяется выражением
Во временной области он изображен на рис. 6а. Условно длительность такого импульса определяют по уровню е-1/ 2 от амплитуды.
Спектральная плотность определяется через интеграл Фурье:
После замены переменных:
где
,
интеграл приводится к виду
причем
Окончательно получаем
где
Таким образом, спектральная плотность гауссовского импульса является действительной функцией частоты s=0) (т.к. сигнал задан четным образом), модуль которой также является гауссовским импульсом (рис. 6б).
а) б)
Рис. 6
Т.е. гауссовскому спектру соответствует гауссовский импульс, причем чем шире полоса спектра, определяемая на уровне е-1/ 2 от максимума величиной b, тем уже условная длительность импульса, определяемая величиной а=1/b, и наоборот.