5.10. Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе

Полагая суммарное касательное напряжение в потоке постоянной величиной, и принимая гипотезу Прандтля для турбулентных напряжений, запишем (5.38) в виде

. (5.43)

По мере приближения к стенке турбулентные пульсации затухают, напряжение τ_Т уменьшается и в непосредственной близости от стенки становится столь малым по сравнению с τ_μ, что в пределах пристеночного слоя можно принять τ₀=τ_μ.

По мере удаления от стенки роль турбулентных пульсаций возрастает и, начиная с некоторого расстояния, значение τ_T многократно превосходит значение напряжения τ_μ, так что для этой области потока можно принять τ₀=τ_T.

Для пристеночной области потока (ламинарного подслоя),

, (5.44)

где τ_μ=const - напряжение трения на стенке трубы. Отсюда

Интегрируя это уравнение, получим

При y=0, U=0 постоянная интегрирования С=0. В ламинарном подслое распределение скорости носит линейный характер:

(5.45)

В области турбулентного течения

. (5.46)

Используя для длины пути перемешивания формулу Прандтля l =ϰy, получим

, (5.47)

откуда

. (5.48)

Обозначая и интегрируя уравнение (5.48), находим

(5.49)

Для определения постоянной С используем условие на границе между турбулентным ядром потока и ламинарным подслоем: ; .

Здесь δ_л – толщина ламинарного подслоя, а U_л – скорость на его границе.

Записывая уравнение (5.49) для границы ламинарного подслоя, получим

.

откуда

. (5.50)

Исходя из уравнения (5.45) для границы ламинарного подслоя, напишем

, так как

С учетом скорости U_* выражение для τ_μ/ρ можно представить в виде

или , (5.51)

откуда толщина ламинарного подслоя

. (5.52)

Подставляя выражения (5.51 и (5.52) в (5.50), получим

, (5.53)

а подставляя (5.53) в (5.49), имеем

, или ,

где .

Коэффициенты 1/ϰ и можно определить опытным путем.

Так, в результате опытов Никурадзе получена формула, выражающая универсальный логарифмический закон распределения скоростей в гладких трубах:

. (5.54)

Положив в (5.54) y=r₀, определим скорость на оси трубы :

. (5.55)

Зная закон распределения скоростей, можно найти величину коэффициента гидравлического трения. Для гидравлически гладких труб, исходя из формулы (5.54), можно записать для средней скорости потока

, (5.56)

где y_ср = 0,223U_* - расстояние от стенки до слоя, скорость в котором равна средней скорости U.

Ранее была получена зависимость

,

подставляя которую в (5.56), получим известную формулу Прандтля для коэффициента гидравлического трения в гладких трубах:

(5.57)

Недостаток формулы (5.57) в том, что связь λ и числа Re выражена в неявной форме. Этого недостатка нет, например, у эмпирической формулы Конакова

. (5.58)

Наряду с логарифмическими формулами существуют степенные. Например, широко применяется эмпирическая формула Блазиуса, пригодная при Re<100000:

. (5.59)

Этой формуле отвечает степенное выражение для распределения скорости потока по сечению трубы (применение которой ограничено тем же условием):

, (5.60)

где у - расстояние от стенки трубы.

Это уравнение известно под названием закона Блазиуса.

Для максимальной скорости на оси трубы (y=r₀)

. (5.61)

Из равенств (5.60) и (5.61) получим

.

Литература по содержанию лекции:

1. Чугаев Р. Р. Гидравлика (Техническая механика жидкости). - Л.: Энергоиздат, 1982. - 672 с.

2. Штеренлихт Д. В. Гидравлика. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 640 с.

7