4. Обработка и форма представления результатов исследований в отчете

4.1 В соответствии с исходными данными (таблица вариантов) записывается дифференциальное уравнение относительно напряжений тока i и характеристическое уравнение цепи. Определяются корни характеристического уравнения. Записывается решение дифференциального уравнения относительно . По данным программы “Декремент” для заданной цепи регистрируются и строятся переходные кривые при включении цепи R, L, C на источник постоянного напряжения и при разряде конденсатора.

4.2 Результаты исследований по п.п. 2.1, 2.2, 2.5 представляются в отчете таблицей и в графической форме для и .

4.3 Траектория корней, полученная по п. 2.4 строится на комплексной плоскости. На траектории отмечаются корни, соответствующие переходным процессам, которые исследованы в п.п. 2.1, 2.2, 2.5.

5. Информационное обеспечение работы

На рис.1 показана схема замещения электрической цепи, в которой исследуются переходные процессы

Рис.1 Схема замещения электрической цепи.

Дифференциальное уравнение электрической цепи составляется на основании второго закона Кирхгофа. Уравнение записывается относительно мгновенных значений напряжений на элементах контура:

.

Дифференциальное уравнение может быть записано и относительно напряжения на любом элементе цепи и относительно тока в цепи.

;

;

.

Начальные условия, необходимые для решения дифференциальных уравнений, определяются по законам коммутации, Кирхгофа и Ома. По законам коммутации определяются независимые начальные условия. При включении исследуемой электрической цепи на постоянное напряжение на основании законов коммутации независимые начальные условия определяются как нулевые.

,

.

Зависимые начальные условия определяются по закону Ома и законам Кирхгофа:

,

.

Начальные условия по производным , , определяются:

;

.

Из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа относительно производных,

определяется

Характеристическое уравнение исследуемой электрической цепи:

в зависимости от соотношения параметров R, L, C может иметь четыре вида решения:

-корни вещественные отрицательные различные, что соответствует апериодическому переходному процессу :

;

;

;

-корни вещественные отрицательные равные (кратные), что соответствует предельному апериодическому переходному процессу:

;

;

;

-корни комплексные сопряженные, что соответствует затухающему колебательному переходному процессу:

;

;

,

где

-корни мнимые сопряженные, что соответствует незатухающему переходному процессу:

;

;

,

где

Степень затухания переходного процесса в контуре определяется величиной сопротивления R. В случае разряда емкости в цепи с последовательно соединением R, L, C энергия, запасенная в электрическом поле емкости:

за время переходного процесса полностью теряется контуром (необратимые потери) со скоростью:

.

Потери энергии в контуре R, L, C на любой момент времени t_к можно оценить по уравнению:

,

где - энергия поля емкости на момент t=0; и - энергия электрического поля емкости и магнитного поля индуктивности на момент времени .

Для предельного апериодического переходного процесса потери энергии в контуре на момент времени могут быть определены решением интеграла:

,

где p- корень характеристического уравнения.

При необратимые преобразования энергии в контуре происходят за один цикл разряда емкости (апериодический и предельный апериодический переходные процессы), а при < (колебательный характер переходного процесса) емкость перезаряжается. Чем меньше R, тем меньше энергии теряет контур при каждом цикле перезаряда емкости. При R=0 (контур без потерь) в контуре происходят обратимые преобразования энергии между электрическим полем емкости и магнитным полем индуктивности без потерь.

Степень затухания переходного процесса оценивается декрементом колебаний, который может быть определен по кривой тока i(t):

,

или логарифмическим декрементом колебаний:

,

где Т- период свободных колебаний.

Длительность переходного процесса при колебательном характере определяется показателем . Задавая погрешность расчета длительности переходного процесса не более 2%, время переходного процесса можно определить для колебательного переходного процесса:

Для апериодических переходных процессов затухание определяется показателем , где

а длительность переходного процесса вычисляется:

.

При включении электрической цепи с последовательным соединением R, L, C на постоянное напряжение или при разряде емкости кривая переходного тока имеет экстремальный характер. Максимальное значение тока вычисляется путем подстановки в формулу переходного тока времени , которое определяется из условия:

так как то можно определить, приравнивая уравнение переходного напряжения на индуктивности к нулю:

Для апериодического переходного процесса время максимального тока определяется через корни характеристического уравнения:

,

В случае предельного апериодического процесса это время определяется по формуле , если переходный процесс колебательный, то

.

При колебательном переходном процессе на емкости возникают напряжения по величине больше, чем напряжения источника. Если сопротивление контура незначительно, то перенапряжения на емкости могут достигать почти двойного напряжения источника постоянного напряжения. Поэтому при выборе конденсатора как элемента электрической цепи, который нормируется по предельному рабочему напряжению, необходимо выполнять исследования переходных процессов в данной цепи с целью оценки перенапряжений на емкости.

Расчет максимального напряжения на емкости выполняется подстановкой в формулу переходного напряжения на емкости времени максимального экстремума , которое может быть определено из условия:

или

Для колебательного переходного процесса это время равно:

.

Изменение величины параметра любого элемента цепи (R, L, C) меняет численное значение корней характеристического уравнения и, следовательно, изменяет положение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Последовательное изменение величины R от 0 до при L= const, C=const вызывает последовательное перемещение корней на комплексной плоскости, изображая траекторию. Траектория движения корней на комплексной плоскости при изменении R от 0 до L= const, C=const показана на рис. 2.

Рис.2. Траектория движения корней характеристического

уравнения цепи при изменении R от 0 до

Траектории корней на комплексной плоскости можно построить, если изменяется L при R=const; C=const или при изменении C при R=const; L=const.

Из рис.2 видно, что апериодический и колебательный переходные процессы могут иметь одинаковую длительность . На рис.2 пунктиром показана линия равного уровня времени переходного процесса. Она пересекает траекторию корней дважды (точки А и В). Точка А характеризует колебательный переходный процесс, а точка В - апериодический с такой же длительностью переходного процесса, как и у колебательного.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нейман Л.Р. Теоретические основы электротехники в 2 ч. / Л.Р. Нейман, К.С. Демирчан. – Л.: Энергия, 1967. ч.1. с. 337-349.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов – В.: Высшая школа, 1973. с. 328-343.

3. Зевеке Г.Е. Основы теории цепей / Г.Е. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страков - М.: Энергия, 1975. с. 234-236, 244-250.

4. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи в 2 ч. / Г.И. Атабеков// Теоретические основы электротехники в 3-х частях. – М.: Энергия, 1978, ч. I. с. 427-434, 444-450.