Статика

Во всех задачах номер рисунка определяется по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице – по последней цифре шифра.

Задача С-1

Конструкция состоит из двух невесомых стержней АВ и АС, скрепленных между собой и с опорами при помощи шарниров. В узле А закреплен блок, через который перекинут невесомый трос, один конец которого прикреплен в точке Е, а к другому концу подвешен груз Р (на схемах 0, 1, 2, 4, 9 трос перекинут также и через блок D).

Определить усилия в стержнях АВ и АС, пренебрегая размерами блока. Задачу решить аналитически.

Указания. Построить чертеж в соответствии с заданными углами своего варианта. Задача С-1 на равновесие плоской сходящейся системы сил. Для ее решения следует рассмотреть равновесие блока А и приложить к нему активные силы (силы натяжения тросов) и реакции стержней, предположив, что все стержни работают на растяжение. Составить уравнения равновесия и найти искомые величины.

Таблица С-1

Последняя цифра шифра				Р(Н)
0	0	45	30	500
1	0	60	30	400
2	60	0	60	600
3	45	0	60	200
4	30	0	30	700
5	90	30	30	300
6	90	45	60	900
7	45	90	30	650
8	60	90	15	800
9	0	45	60	450

рис.С-1.0	рис.С-1.1
рис.С-1.2	рис.С-1.3
рис.С-1.4	рис.С-1.5
рис.С-1.6	рис.С-1.7
рис.С-1.8	рис.С-1.9

Пример С-1:

Рис.С-1,а

Груз Р удерживается в равновесии при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок А и прикрепленного к стене в точке Е. Блок А удерживается двумя невесомыми стержнями АВ и АС, шарнирно закрепленными на концах.

Определить усилия в стержнях АВ и АС. Трением на блоке, его размерами и весом можно пренебречь. Вес груза Р = 20кН.

Решение. Рассмотрим равновесие блока А (рис.С-1,б). Со стороны троса на него действуют силы натяжения и , равные весу груза: , т.к. при отсутствии трения силы натяжения во всех точках троса должны быть одинаковы.

Рис.С-1,б

Стержни АВ и АС невесомы, нагружены только в узлах и имеют шарнирные крепления на концах, следовательно они работают либо на растяжение, либо на сжатие. Предположим, что стержни растянуты, тогда их реакции и направлены от узла А вдоль стержней получим уравновешенную плоскую сходящуюся систему сил.

Выберем прямоугольную систему координат Аху, совместив начало координат с точкой А, направим ось х вдоль стержня АС. Для равновесия плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы выполнялись уравнения равновесия:

.

Получим:

(1)

(2)

Из (2) ,

тогда

Из (1) .

Знак «-» в ответе указывает, что стержень 1 (АС) сжат. Стержень 2 (АВ) растянут.

Проверим правильность решения, спроектировав все силы на ось Ау₁.

Проверка совпала с точностью до сотых долей, задача решена верно.

Ответ:

.

Задача С-2.

Горизонтальная балка (рис.С-2.0  С-2.9) нагружена распределенной нагрузкой интенсивности q, парой сил с моментом М и сосредоточенной силой Р, направленной под углом  к горизонту. Балка удерживается в равновесии благодаря связям, сведения о которых приведены в таблице С-2, размеры а, b, c, d также указаны в таблице.

Определить реакции связей, вызываемые действующими нагрузками. Во всех вариантах принять Р = 10кН; q = 4кН/м; М = 6кНм.

Таблица С-2

№ условия	Виды наложенных связей				Сила Р		Размеры
	Жесткая заделка или	Неподвижный шарнир	Шарнирная опора на катках				а, b, c, d (м)
	Точка наложения	Точка наложения	Точка налож.	 град.	Точка прилож.	 град.	а	b	c	d
0	А	-	-	-	В	30^о	1,0	2,2	2,4	1,2
1	-	А	Е	-30^о	В	45^о	1,2	2,0	2,2	0,8
2	-	Е	А	0^о	С	60^о	1,4	1,8	2,0	1,4
3	-	Д	А	30^о	Е	-30^о	1,6	2,2	2,4	1,0
4	А	-	-	-	С	-60^о	0,8	2,8	2,0	1,2
5	-	В	Е	-45^о	А	30^о	2,0	1,2	1,8	1,4
6	-	Е	В	0^о	С	120^о	1,6	1,8	2,4	1,0
7	-	А	Е	0^о	Д	-30^о	1,2	2,4	1,0	2,2
8	-	А	Д	45^о	В	60^о	0,8	2,6	1,6	2,0
9	-	Д	А	0^о	С	150^о	1,2	2,0	2,4	0,8

Рис.С-2.0
Рис.С-2.1
Рис.С-2.2
Рис.С-2.3
Рис.С-2.4
Рис.С-2.5
Рис.С-2.6
Рис.С-2.7
Рис.С-2.8
Рис.С-2.9

Задача С-3.

Жесткая рама (рис.С-3.0 - С-3.9) нагружена сосредоточенной силой F, направленной под углом  к горизонту, распределенной нагрузкой интенсивности q, парой сил с моментом М.

Рама удерживается в равновесии при помощи неподвижного шарнира и вертикального стержня, шарнирно закрепленного на концах. Точки наложения связей, силы F, участок действия распределенной нагрузки, необходимые размеры указаны в табл. С-3.

Определить опорные реакции. Во всех вариантах принять F = 6кН, q = 2кн/м, М = 8кНм.

Указания. В задаче С-3 объектом равновесия является рама, находящаяся под действием системы сил, произвольно расположенной на плоскости. Для указанной

системы сил можно составить три уравнения равновесия в виде:

, либо в виде:

,

где ось х не перпендикулярна отрезку АВ. Следует учесть, что уравнения моментов будут проще, если моментные точки О, А, В выбраны на пересечении линий действия двух неизвестных реакций связей. При вычислении момента силы удобно разложить ее на две взаимно перпендикулярные составляющие и , моменты которых легко вычисляются по теореме Вариньона:

.

Таблица С-3

№ условия	Виды наложенных связей		Нагрузки
	Неподвиж-ный шарнир	Невесомый стержень с шарнирами на концах или	Сила		Р аспределенная нагрузка или
	Точка наложения	Точка наложения	Точка приложен.	 град.	Участок распределения
0	А	В	С	30^о	АД
1	В	А	Д	-60^о	СК
2	А	В	Д	120^о	СК
3	Д	В	А	135^о	СК
4	Д	С	В	-30^о	АД
5	В	С	К	45^о	АД
6	С	В	Д	120^о	АД
7	С	А	В	60^о	АД
8	В	А	С	-45^о	АД
9	А	С	В	150^о	СК

Т аблица С-3 (продолжение)

№ условия	Размеры
	а	b	c	d
0	4	3,6	2,8	2
1	4,6	3	3,4	3,2
2	4,2	3,2	3,6	3
3	4,4	4	3	2
4	4,8	4,4	4	2,6
5	4,0	3,4	3	2,4
6	4,2	3	2,6	2,2
7	3,6	4	3,2	2
8	4,4	3,6	3	2,4
9	4	3,2	2,4	2

С-3.0	С-3.1
С-3.2	С-3.3
С-3.4	С-3.5
С-3.6	С-3.7
С-3.8	С-3.9

Пример С-3:

Рис.С-3,а

Жесткая рама ACDB (рис.С-3,а) закреплена посредством неподвижного шарнира в точке А, а в точке В прикреплена к невесомому стержню (подвижному шарниру). На раму действует сила , равномерно распределенная на участке DB нагрузка интенсивности q и пара с моментом М. Необходимые размеры указаны на рис.С-3,а,б.

Дано: F = 10кН, М = 8кНм, q = 2кН/м.

а = 3м, b = 1м, с = 2м, = 1м, d = 2м.

Определить: реакции опор в точках А и В.

Рис.С-3,б

Решение: 1.Рассмотрим равновесие рамы ACDB. Составим расчетную схему рис.С-3,б. Приложим заданные нагрузки: силу , пару с моментом М, равномерно распределенную нагрузку на участке DB заменим равнодействующей , приложенной в середине участка DB: . Заменим действие связей реакциями:

- реакции неподвижного шарнира, R_B - реакция стержневой опоры в предположении, что стержень сжат.

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия.

Предварительно разложим на составляющие силу :

Выберем систему координат, как показано на рисунке, получим:

(1)

(2)

(3)

В качестве моментных точек выбраны точки А и Е – точки пересечения линий действия реакций связей.

Из уравнений равновесия получим:

;

Для проверки полученных результатов составим любое новое уравнение равновесия, оно должно обратиться в тождество.

Например:

Ответ:

Задача С-4.

Конструкция состоит из двух частей, скрепленных между собой в точке С шарнирно (рис.С-4.0 – С-4.9). Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке А или неподвижный шарнир, или жесткая заделка; в точке В неподвижный шарнир или подвижный шарнир; в точке D -подвижный шарнир.

На каждую конструкцию действуют пара сил с моментом М = 6кНм, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 2кН/м и еще две сосредоточенные силы. Величины, их направления и точки приложения указаны в табл.С-4; там же в столбце указан участок действия и направление распределенной нагрузки.

Определить реакции связей в точках А, В, С (для рис.С-4.2, С-4.9 еще и в точках D), вызванные заданными нагрузками. Размеры конструкции указаны на рисунках.

Указания. Задача С-4 – на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей конструкции в целом, а затем равновесие одного из тел, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить конструкцию на отдельные тела и рассмотреть равновесие каждого тела в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодействия.

Таблица С-4.

№ усло-вия									Участок действия распределенной нагрузки
	F1 = 4кН		F2 = 6кН		F3 = 8кН		F4 = 10кН
	Точка пролож.		Точка пролож.		Точка пролож.		Точка пролож.
0	H	0	-	-	-	-	L	30	CK
1	-	-	K	30	E	0	-	-	CL
2	K	30	-	-	-	-	L	90	AE
3	L	45	H	0	-	-	-	-	AE
4	-	-	K	0	-	-	H	60	CL
5	E	45	-	-	L	90	-	-	CK
6	-	-	E	0	-	-	L	30	CK
7	-	-	K	0	-	-	E	60	CL
8	-	-	-	-	L	30	K	90	AE
9	-	-	H	45	L	90	-	-	CK

рис.С-4.0	рис.С-4.1
рис.С-4.2	рис.С-4.3
рис.С-4.4	рис.С-4.5
рис.С-4.6	рис.С-4.7
рис.С-4.8	рис.С-4.9

Задача С-5.

Однородная прямоугольная плита весом Р = 3кН со сторонами АВ = 3а, ВС = 2а закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС (рис.С-5.0 – С-5.9).

На плиту действуют пара сил с моментом М = 5кНм, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Величины этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С-5; при этом силы F₁ и F₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила F₂ – в плоскости, параллельной хz, и сила F₃ – в плоскости параллельной уz. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах сторон плиты.

Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять а = 0,8м.

Указания. Задача С-5 – на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силыF удобно разложить ее на составляющие F и F параллельные координатным осям; тогда по теореме Вариньона и т.д.

Таблица С-5

Сила
Номер усилия	F1 = 4кН		F2 = 6кН		F3 = 8кН		F4 = 10кН
	Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.
0	D	60	-	-	E	0	-	-
1	H	90	D	30	-	-	-	-
2	-	-	E	60	-	-	D	90
3	-	-	-	-	E	30	H	0
4	E	0	-	-	H	60	-	-
5	-	-	D	60	H	0	-	-
6	-	-	H	30	-	-	D	90
7	E	30	H	90	-	-	-	-
8	-	-	-	-	D	0	E	60
9	-	-	E	90	D	30	-	-

рис.С-5.0	рис.С-5.1
рис.С-5.2	рис.С-5.3
рис.С-5.4	рис.С-5.5
рис.С-5.6	рис.С-5.7
рис.С-5.8	рис.С-5.9

Пример С-5. Вертикальная плита весом Р (рис. С-5) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем , лежащем в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости xz), сила (параллельная оси y) и пара сил с моментом М (в

плоскости плиты).

Дано: Р = 5кН, М = 3кНм, F₁ = 6кН, F₂ = 7,5кН, , АВ = 1м, ВС = 2м, СЕ = 0,5АВ, ВК = 0,5ВС.

Определить: реакции опор А, В и стержня .

Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сфе-

Рис.С-5.

рического шарнира разложим на три составляющие , цилиндрического (подшипника) – на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

(5)

(6)

Для определения момента силы относительно оси у разлагаем на составляющие и , параллельные осям х и z ( ) и применяем теорему Вариньона (см. указания). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин и, решив затем эти уравнения, найдем, чему равны искомые реакции.

Ответ: . Знаки указывают, что силы направлены противоположно показанным на рис.С-5.

1 Программа составлена на основании Образовательных стандартов для специальностей: ПГС, ТГВ, ВиВ, ЭУН, ГСХ – от 07.03.2000г. р/н 12тех/дс; АДиА – от 05.04.2000г. р/н 301 тех/дс; ПТ – от 27.03.2000г. р/н 209 тех/дс.

22