2. Понятие двойственности в задачах линейного программирования. Правила построения двойственных задач (симметричных и несимметричных).

Понятие двойственности рассмотрим на примере задачи оптимального использования сырья. Пусть на предприятии решили рационально использовать отходы основного производства. В плановом периоде появились отходы ресурсов m видов в объемах b_i единиц соответственно (i=1;m). Из этих отходов, учитывая специализацию предприятия можно наладить выпуск n видов основной продукции.

Введем обозначения:

a_ij – норма расхода i-го ресурса на производство j-ой продукции;

c_j – цена реализации j-ой продукции;

x_j – объем выпуска j-ой продукции, обеспечивающей предприятию максимум прибыли.

Математическая модель задачи:

.

Оценки должны быть установлены исходя из следующих требований, отражающие несовпадающие интересы предприятия и организации:

1) общую стоимость отходов производства покупающая организация стремиться минимизировать;

2) предприятие согласно уступить отходы только по таким ценам, при которых оно получит за них выручку не меньшую той, что могло бы получить организовав собственное производство.

Эти требования формализуются в виде следующей ЗЛП:

– это требование покупающей организации.

Требования предприятия, реализующего отходы, можно сформулировать в виде системы ограничений. Предприятие откажется от выпуска каждой единицы продукции первого вида, если

.

Левая часть неравенства выражает стоимость ресурсов, идущих на производство единицы продукции первого вида; правая – цену продукции.

Аналогичные рассуждения можно провести относительно каждого вида продукции, в результате получим следующую систему ограничений:

.

Переменные y_i называются двойственными оценками или объективно обусловленными оценками. В зарубежной литературе их называют теневыми ценами.

Первая и вторая задачи называются парой взаимно двойственных ЗЛП. Т.к. эти задачи записаны в симметричной форме, то их принято называть парой симметричных двойственных задач.

В общем виде пара симметричных двойственных задач имеет следующий вид:

Прямая задача: Двойственная задача:

;

Если в качестве прямой принять задачу об определении оптимальных оценок на ресурсы, то в двойственной к ней будет задача об определении оптимального плана выпуска продукции.

Правила построения двойственных задач

Выделяют следующие правила построения симметричных двойственных задач:

1. если прямая задача на максимум, то двойственная к ней – на минимум, и наоборот;

2. коэффициенты c_j целевой функции прямой задачи являются свободными членами двойственной;

3. свободные члены b_i ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной;

4. матрицы ограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг другу;

5. если прямая задача на максимум, то ее система ограничений представляется в виде неравенств со знаком «≤». Двойственная задача решается на минимум, и ее система ограничений имеет вид неравенств со знаком «≥»;

6. число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной, а число ограничений двойственной – числу переменных прямой;

7. все переменные в обеих задачах неотрицательны.

Если среди ограничений прямой задачи имеются равенства или на некоторые переменные не наложено условие неотрицательности, то, построив двойственную ей задачу, получим пару несимметричных двойственных задач.

Правила построения несимметричной двойственной задачи:

1. если на переменную x_j прямой задачи наложено условие неотрицательности, то j-e условие системы ограничений двойственной задачи является неравенством;

2. если на переменную x_j прямой задачи не наложено условие неотрицательности, то j-e условие системы ограничений двойственной задачи записывается в виде строгого равенства;

3. если в прямой задаче имеются ограничения равенства, то на соответствующие переменные двойственной задачи не накладывается условие неотрицательности.