2.2 Множества и операции над ними

Множеством называется совокупность каких-либо объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристическим свойством. Под характеристическим свойством элементов некоторого множества понимают такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они.

Запись А = {a₁, a₂, a₃, …} означает, что множество А состоит из элементов a₁, a₂, a₃, …; подобным образом запись А = {x: Q(x)} обозначает, что множество А состоит из элементов х, обладающих характеристическим свойством Q(x).

Принадлежность элемента а к множеству А обозначается , если же а не принадлежит А, то пишут .

Если множество А не включает в себя ни одного элемента, то говорят, что множество А пустое и пишут А = Ø.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А. При этом говорят, что В включено в А и пишут , где – символ включения.

Множество А равно множеству В тогда и только тогда, когда множество А является подмножеством В и наоборот, т. е. , если и .

Множество В называется собственным подмножеством множества А, если и . Отношение собственного подмножества обозначают , где – символ строгого включения.

Часто бывает полезно ввести столь обширное множество, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами. Такое множество U называется универсальным множеством (универсумом). Универсальное множество графически изображают при помощи прямоугольника (рис. 2.1). Изображение множеств в виде областей этого прямоугольника называется диаграммой Эйлера-Венна.

Рис. 2.2 Универсальное множество и операция дополнения

Дополнением множества А до универсального множества U называется множество всех тех элементов универсума U, которые не принадлежат множеству А (рис. 2.2).

Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое через А  В и состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В.

Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое через А  В и состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В.

Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое через А \ В и состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и не принадлежит множеству В.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое через А Δ В и состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит либо множеству А, либо множеству В и не принадлежит обоим множествам.