3. Ускорение точки

Пусть движущаяся точка М в момент времени t имеет скорость . В момент времени эта точка занимает положение М₁, имея скорость (рис. 4,а). Чтобы изобразить приращение скорости за время , перенесем вектор скорости параллельно самому себе в точку М.

Средним ускорением точки за время называют отношение , т. е. .

Ускорением точки в момент времени t называют предел, к которому стремится среднее ускорение при , стремящемся к нулю, т. е.

.

Т аким образом, ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки.

Приращение скорости и, следовательно, среднее ускорение направлены внутрь вогнутости траектории. Так же направлены и их предельные значения при , стремящемся к нулю. Поэтому ускорение точки направлено тоже внутрь вогнутости траектории. Кроме того, ускорение как первая производная по времени от скорости, по свойству годографа вектора, параллельна касательной к годографу вектора скорости (рис. 4, 6).

С

Рис. 4

корость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется, согласно ее определению, по формуле

.

Для ускорения точки соответственно имеем

.

Векторный способ ввиду его краткости и компактности удобен для теоретического изложения кинематики точки.

4. Координатный способ изучения движения Задание движения и траектория

Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени , т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

; ; .

Эти уравнения движения есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время t. Уравнения траектории в координатной форме получают исключением параметра t.

, .

Скорость в декартовых координатах

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат. Получим

; , (1)

где х, у, z-координаты точки М; - единичные векторы осей координат; - проекции скорости на оси координат.

Учитывая (1), согласно определению скорости, имеем

, (2)

так как не изменяются при движении точки М. Точки над х, у, z означают их производные по времени. Сравнивая (1) и (2), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:

; ; .

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

Ускорение точки в декартовых координатах

Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим

, (3)

где - проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (1) и (2), имеем

(4)

Сравнивая (3) и (4), получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат:

; ; .

Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки.

Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам

; ;