2. Обеспечение заданного расположения корней характеристического уравнения с помощью введения обратной связи
Введением в систему с передаточной
функцией отрицательной обратной связи
можно
изменить расположение корней
характеристического уравнения.
Если многочлены a(s) и b(s) являются взаимно простыми, тогда многочлены x(s) и y(s), определяющие вид обратной связи, могут быть выбраны так, чтобы характеристический многочлен замкнутой системы d(s) имел произвольные наперед заданные коэффициенты, т.е. произвольное расположение корней.
Характеристический многочлен замкнутой системы есть: d(s) = b(s)*y(s) + a(s)*x(s).
При заданных параметрах par1=15 и par2=0.1 передаточная функция имеет вид:
-17s^2 -17s -17
g(s) = ———————————————
0,1s^4 +15,1s^3 +8,4s^2 +104s +23
После введения обратной связи передаточная
функция примет вид:
Выберем s* = -4 и потребуем, чтобы
Тогда получим следующую систему:
Для того, чтобы сохранить порядок системы, степень многочлена y(s) должна быть нулевой.
Выберем y(s) = 1. Система примет вид:
x(-4) = -5,4271493
Соответственно передаточная функция для звена в обратной связи
Передаточная функция с введенной обратной связью будет иметь вид:
-170[(s+0,5)^2+0,866^2]
w(s) = ——————————————
(s+1,146)(s+1,745)(s+4)(s+144,1)
poles(w) ans =
-1,1456849
-1,7452918
-4,0000000
-144,10902
Видно, что
,
а остальные корни удовлетворяют
условию
.
Следовательно мы смогли задать
расположение корней с помощью введения
обратной связи.
3. Определение типовых установившихся ошибок в следящей системе
Для оценки точности системы возьмем передаточную функцию, полученную во втором пункте задания путем введения обратной связи. Эта система является следящей.
-17s^2 -17s -17
w(s) = ——————————————————
0,1s^4 +15,1s^3 +100,7s^2 +196,3s +115,3
0,1s^4 +15,1s^3 +100,7s^2 +196,3s
+115,3
Wu(s) = ——————————————————
0,1s^4 +15,1s^3 +83,66s^2 +179,3s +98,26
Р
ассчитаем
для типовых воздействий установившуюся
ошибку. Для этого воспользуемся формулой
Ступенчатое воздействие:
Ошибка конечна, следовательно, система является статической.
Линейно изменяющееся воздействие:
Ошибка равна бесконечности, следовательно, система является статической первого порядка.
Очевидно, что ошибка при квадратичном воздействии также будет бесконечна.
4. Построение системы максимального быстродействия без перерегулирования
Быстродействие системы определяется
временем переходного процесса
,
т.е. временем первого вхождения
кривой переходной функции в область с
допустимым (не превышающим
)
отклонением от установившегося значения
выхода системы. Величину
выберем равной 5%.
Для определения быстродействия будем строить график переходной функции, отражающий поведение системы при единичном входном воздействии (u(t) = 1[t]).
Подбор оптимальных значений параметров производился следующим образом:
первым варьировался параметр par1 до тех пор, пока не получили систему без перерегулирования
затем параметр par1 подбирался так, чтобы получить минимальное время переходного процесса
после, параметр par1 фиксировался и варьировался параметр par2 до тех пор, пока не получалась система без перерегулирования
параметр par2 подбирался так, чтобы время переходного процесса было минимальным
Используя вышеописанный алгоритм, были получены оптимальные параметры par1=20 и par2=0.1
Передаточная функция с выбранными параметрами имеет вид:
-170[(s+0,5)^2+0,866^2]
w(s) = ——————————————————
(s+0,1882)[(s+0,2248)^2+2,459^2] (s+200,4)
Отсюда h = 0,1882 – модуль ближайшего к мнимой оси корня характеристического полинома.
Сравним полученное значение с приближенной оценкой, вычисленной по формуле:
=15,92.
По графику видно, что экспериментальный результат очень близок к теоретическому.