4. Методика обработки результатов прямых многократных измерений.

Выполнив эксперимент, получают ряд результатов измерений

,

где - -й результат измерений; - число измерений.

Метод статистической обработки результатов прямых многократных измерений регламентирован ГОСТ 8.201-76.

С целью удобства выполнения статистической обработки результатов многократных измерений целесообразно его представить в виде вариационного ряда, т.е. расположить результаты измерений по возрастающей от минимального значения до максимального или наоборот (выполнить это следует с помощью компьютера).

Далее следует:

4.1 Исключить известные систематические погрешности из результатов измерений.

4.2. Вычислить среднее арифметическое результатов измерений , принимаемое за оценку измеряемой величины, по формуле

. (1.1)

4.3. Вычислить среднее квадратическое отклонение (СКО) ряда результатов измерений или одного измерения , принимаемое за характеристику случайной погрешности ряда измерений, по формуле

. (1.2)

4.4. Вычислить СКО среднего арифметического результатов многократных измерений , принимаемое за характеристику случайной погрешности среднего арифметического, по формуле

. (1.3)

5. Исключение грубых погрешностей.

Для исключения грубых погрешностей применяют критерий Граббса. Для этого вычисляют дробь , сравнивают полученное значение с теоретическим значением при выбранном уровне значимости q по таблице Приложения 1 . Если , то x_max следует исключить, как маловероятное значение. Далее следует вычислить среднее арифметическое и СКО и процедуру проверки наличия грубых погрешностей повторить.

6. Проверка гипотезы о виде закона распределения.

6.1. Проверить гипотезу о принадлежности распределения ряда результатов измерений определенному распределению можно, используя критерии проверки вида распределений полученных результатов измерений. При числе измерений чаще всего используют критерий - критерий Пирсона. В данной работе предлагается снять более 60 показаний на компьютеризированной измерительной установке и определить закон распределения случайной погрешности результатов измерений.

6.2 С целью облегчения обработки результатов измерений при числе их более 60 производят группирование результатов измерений. Для этого ряд результатов измерений от минимального x_min до x_max разделяют на интервалы. Рекомендуемые числа интервалов в зависимости от числа результатов измерений приведены в таблице 1.2.

Т а б л и ц а 1.2.

Число результатов измерений n	Рекомендуемое число интервалов r
40 - 100	7 - 9
100 – 500	8 - 12
500 - 1000	10 - 16
1000 – 10 000	12 - 22

Для n ≈60 число интервалов выбирают примерно, равное 7-8. Ширину интервала назначают постоянной для всего ряда результатов измерений, ее рассчитывают по формуле:

, (1.4)

П р и м е ч а н и е.- Ширину интервала для удобства расчетов обычно округляют.

6.3 Для предварительной оценки вида распределения для полученных результатов измерений строят гистограмму. Гистограмму строят в виде ступенчатой кривой. Ширина ступеньки гистограммы соответствует ширине интервала, для этого по оси абсцисс откладывают вычисленные границы интервалов. Подсчитывают число результатов измерений, попавших в каждый интервал, т.е. или частоту (число результатов измерений попавших в интервал , деленное на полученное при измерении число результатов измерений n) и на каждом интервале строят прямоугольник, высота которого соответствует числу результатов измерений, которые попали в интервал.

Рис. 1.4. Пример гистограммы

6.4 По виду гистограммы оценивают, какому бы виду распределений не противоречило распределение полученных результатов измерений. В табл. 1.3. представлены плотности вероятностей некоторых наиболее распространенных распределений.

Т а б л и ц а 1.3.

Закон распределения	Плотность вероятности	Оценка измеряемой величины
1.Равномерный
2.Треугольный
3.Нормальный

6.5 Проверку вида распределения результатов измерений выполняют по критерию - критерию Пирсона. В основе этого критерия лежит сравнение числа результатов измерений, попавших в интервал гистограммы, и теоретического числа результатов измерений, которое должно было бы попасть в интервал, если бы результаты измерений точно бы соответствовали предполагаемому распределению.

Для этого находят число результатов измерений, которое должно было быть в интервале, если бы их распределение соответствовало предполагаемому. При предположении, что результаты измерений не противоречат нормальному распределению, это теоретическое число результатов измерений для каждого интервала вычисляют по формуле:

, (1.5.)

где n - полученное при измерении число измерений; h - ширина интервала; -среднее арифметическое результатов измерений; S - среднее квадратическое отклонение ряда измерений; x_oi- середина i-го интервала;

- вероятность попадания результатов измерений в i-ый интервал, которую определяют по функции плотности нормального распределения, представленной в таблице Приложения 2.

6.6 Для каждого интервала вычисляют ( -число результатов измерений, попавших в i - ый интервал гистограммы). Просуммировав по всем интервалам, получают с определенным числом степеней свободы . Для нормального распределения (r - число интервалов гистограммы).

6.7 Выбрав уровень значимости q=0.01 по таблицам распределения Пирсона ( ) находят и . Гипотезу о том, что распределение результатов измерений не противоречит теоретическому распределению принимают, если . При предположении, что теоретическим распределением может быть нормальное распределение, должно находится в границах 0,872 < ≤16,8.

При получении отрицательного ответа выбирают другое распределение из табл. 3.4. и проверяют вид распределения полученных в эксперименте результатов измерений.

7. Вычисление доверительных границ  (без учета знака) случайной погрешности измерения выполняют по формуле:

, (1.6)

где - среднее квадратическое отклонение результата многократных измерений, СКО среднего арифметического значения;

-коэффициент Стьюдента, определяемый по таблице в зависимости от выбранной доверительной вероятности и числа степеней свободы . Таблица коэффициентов Стьюдента представлена в таблице Приложения 3.