3. Классическое определение вероятности

3.1. Определение и простейшие свойства

Пусть пространство элементарных исходов  состоит из n равновозможных исходов. Назовем вероятностью элементарного исхода  число . Итак, если у нас есть основания полагать, что элементарные исходы эксперимента равновозможны (ни у одного из них нет преимуществ перед другими в смысле возможности произойти или не произойти), то каждому из них мы ставим в соответствие одну и ту же вероятность  1/n. По-другому говорят так: у каждого элементарного исхода есть один шанс из n произойти.

Рассмотрим произвольное событие А. Если m_A – число исходов, благоприятствующих событию А, то вероятностью события A (обозначается p(A)) называется число

(3.1)

Очевидные свойства вероятности: р () = 1 ; p() = 0; 0  p(A)  1; p( ) = 1 – p(A); если A и B несовместны, AB = , то p(A+В) = p(A) + p(B).

3.2. Теорема сложения вероятностей

Если события A и B совместны, AB  , вероятность суммы A + B определяется по формуле

p(A + В) = p(A) + p(B) – p(AB). (3.2)

Докажем эту формулу.

Пространство  состоит из n элементарных исходов, событие A содержит m_A элементарных исходов, событие B состоит из m_B элементарных исходов, а произведению AB благоприятствуют m_AB исходов. Подсчитаем число исходов, благоприятствующих сумме A + В.

Событие A + B можно представить как сумму трех несовместных собы-

тий: A + B = (A\AB) + AB + (B\AB) (рис. 3.1). В событие А\АВ входят m_A –

 m_AB исходов; в событие B\AB входят m_B – m_AB исходов. Тогда p(A +В) =

= p(A\АВ) + p(AB) + p(B\АВ) = p(A) +

+ p(B) – 2p(AB) + p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB), что и требовалось доказать.

Рис. 3.1

3.3. Задача о выборке

Пусть имеется n предметов, m из которых назовем «белыми», а остальные n – m  «черными». Из этих n предметов наудачу выбирают k штук. Найти вероятность того, что l из этих k выбранных предметов «белые» и, следовательно, k – l – «черные». Перенумеруем предметы. «Белым» припишем номера с 1 по m, а «черным» – номера с m + 1 по n. Тогда элементарный исход – это неупорядоченный набор (сочетание) из k номеров, выбранных из n имеющихся. Из условия задачи следует равновозможность всех элементарных исходов; всего же элементарных исходов .

Событию A = {в выборке из k предметов l штук «белых»} благоприятствуют все те элементарные исходы, которые содержат l номеров в диапазоне от 1 до m и k – l номеров в диапазоне от m – 1 до n.

По принципу умножения число таких элементарных исходов равно

.

Вероятность события A равна

. (3.3)

3.4. Примеры решения задач

3.4.1. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: A = {сумма выпавших очков равна 8, а модуль разности равен 4}; B = {сумма выпавших очков равна 8, если модуль разности равен 4}.

Решение. Под элементарным исходом будем понимать число очков, выпавших на каждой из костей. Из соображений симметрии следует, что такие исходы равновозможны, ни одному из них нельзя отдать предпочтение перед другими. Всего исходов 36 (на каждой из костей может выпасть любое число очков от 1 до 6, а костей две).

 = {(1, 1), (1, 2), ... , (1, 6), ... , (6, 1), (6, 2), ... , (6, 6)}.

Запись (l, k) означает, что на первой кости выпало l очков, а на второй – k очков. Исходы, благоприятствующие событию А: A = {(2,6), (6,2)}. Таким образом, n = 36, m = 2, p(A) = 1/18.

Если известно, что модуль разности чисел выпавших очков равен 4, то пространство элементарных исходов содержит уже не 36, а только 4 исхода.  = {(1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)}.

Событию B благоприятствует два исхода: n = 4, m = 2, p(B) = 1/2.

3.4.2. B магазине имеется 180 бутылок молока, 60 из которых датированы предыдущим числом, остальные бутылки содержат свежее молоко. Покупатель выбирает наугад 6 бутылок молока. Чему равна вероятность события A = {по крайней мере две бутылки окажутся датированы предыдущим числом}?

Решение. Перед нами задача о выборке. Назовем «белыми» бутылки со свежим молоком, «черными» – бутылки, датированные предыдущим числом.

Найдем вероятность события = {среди выбранных шести бутылок не более одной «черной»}; = A₁ + А₂, где A₁ = {среди выбранных шести бутылок одна «черная»}, A₂ = {все 6 выбранных бутылок – «белые»}.

.

p(A) = 1 – p( ) = 1 – .

3.4.3. В лифт семиэтажного дома вошли на первом этаже 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

А = {все пассажиры выйдут на четвертом этаже}; В = {все пассажиры выйдут на одном этаже}; C= {все пассажиры выйдут на разных этажах}.

Решение. Элементарный исход для этого эксперимента – номер этажа, на котором выйдет каждый пассажир. Будем обозначать исходы тройкой чисел: например, запись (3, 6, 4) означает, что первый пассажир вышел на третьем этаже, второй – на шестом, а третий – на четвертом. Так как у каждого пассажира есть 6 возможностей выхода, то по принципу умножения в пространстве элементарных исходов имеем 6³ = 216 элементов. По условию все они равновозможны.

Событию A соответствует один элементарный исход: A = {(4, 4, 4)}, поэтому p(A) = 1/216.

Событию B благоприятствуют 6 элементарных исходов: B = {(2, 2, 2), (3, 3, 3), ..., (7, 7, 7)}. Отсюда p(B) = 6/216 = 1/36.

По принципу умножения событию С благоприятствуют 654 = 120 элементарных исходов. Поэтому p(C) = 120/216 = 5/9.