- •Функции нескольких переменных (фнп)
- •1. Фнп, их определение, обозначение и область определения
- •2. Предел фнп. Непрерывность
- •3. Свойства функций, непрерывных в области
- •4. Частные производные функций нескольких переменных
- •5. Дифференциалы фнп. Геометрический смысл полного дифференциала
- •6. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Линеаризация функции
- •7. Дифференцирование сложных функций
- •8. Дифференцирование неявных функций
- •9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Геометрические приложения
- •10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Особые точки
- •11. Экстремумы функции нескольких переменных
- •11.1 Локальный экстремум
- •Скалярное поле
- •1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня
- •2. Производная по направлению
- •Свойства производной по направлению
- •3. Градиент функции
- •Свойства градиента
4. Частные производные функций нескольких переменных
Функцию можно дифференцировать по каждому из ее аргументов , считая при этом все остальные аргументы постоянными.
1. Пусть в некоторой области задана функция . Возьмем произвольную точку и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина
называется частным приращением функции по х.
Можно записать
.
2. Производная от функции по , взятая в предположении, что все остальные аргументы являются постоянными, называется частной производной функции по и обозначается:
Из определения:
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции по каждому из остальных аргументов.
Частные производные ФНП находят по известным правилам дифференцирования функции одной переменной.
Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона (относительно Ох) касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.
Примеры.
1.Найти частные производные функции:
а) .
Считая функцией одной переменной – аргумента , находим
;
аналогично для случая, если функция одной переменной – аргумента :
б) .
Считая функцией одной переменной – только аргумента , затем только и далее только , находим
;
;
.
в) .
Перепишем функцию в виде и найдем частные производные, полагая
и .
и .
2.Вычислить значения частных производных функции при указанных значениях аргументов:
а) ; , .
;
; .
3.Проверить, что данная функция удовлетворяет уравнению .
Преобразуем функцию и найдем ее частные производные.
;
Подставим найденные частные производные и функцию в преобразованном виде в исходное уравнение:
Тождество доказано. Это означает, что данная функция удовлетворяет указанному уравнению (является его решением).
5. Дифференциалы фнп. Геометрический смысл полного дифференциала
1. Частным дифференциалом по х функции называется главная часть соответствующего частного приращения , линейная относительно приращения х (или, что то же, дифференциала ).
Аналогично определяются частные дифференциалы функции по каждому из остальных аргументов. Обозначаются, соответственно, , , …
Из определения частных производных следует
, , …
2. Для функции выражение
(1)
называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.
здесь
Тогда получаем
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
Если функция определена в окрестности точки и имеет непрерывные частные производные в этой точке, то полное приращение можно выразить в виде
или
,
где 1…n – бесконечно малые функции при х0, у0 … t0 соответственно;
; .
3. Полным дифференциалом функции называется главная часть ее полного приращения (1), линейная относительно приращений ее аргументов (или, что то же, дифференциалов ).
Полный дифференциал функции , если он существует, равен сумме всех ее частных дифференциалов
4. Функция называется дифференцируемой в точке, если в этой точке она имеет полный дифференциал. Если функция дифференцируема в каждой точке области, то она называется дифференцируемой в этой области.
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Примеры.
1.Найти полный дифференциал функции:
а) .
Находим частные производные:
; .
Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:
; .
Искомый полный дифференциал находим как сумму частных дифференциалов:
.
б) .
;
;
в) .
г)
.
2. Вычислить значение полного дифференциала функции при ; ; ;
;
. Подставляя числовые значения, получаем .