- •Оглавление
- •2. Таблица значений функции 44
- •3. Таблица значений функции 45
- •Предисловие.
- •Введение (справочный материал к контрольным заданиям).
- •Геометрическое определение вероятности.
- •Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •Контрольная работа №3.
- •Решения задач нулевых вариантов. Контрольная работа №1.
- •Контрольная работа №2.
- •Контрольная работа №3.
Геометрическое определение вероятности.
Если - некоторое непустое квадрируемое множество точек плоскости, - подмножество , то по определению
.
Аналогично формулируется геометрическое определение вероятности для прямой и для трехмерного пространства.
Частота события. Если опыт, в результате которого наблюдается событие , повторяется в одинаковых условиях раз и событие при этом наступило раз, то отношение называется относительной частотой события ( - называется частотой ). Частота (относительная) имеет свойство стабилизироваться при .
Статистической вероятностью события называется число, около которого стабилизируется относительная частота этого события, т.е. при достаточно большом числе повторений опыта.
Под схемой Бернулли понимают - кратное повторение опыта, имеющего два исхода – успех и неудача ( и ), причем вероятность успеха и вероятность неудачи от опыта к опыту не изменяются, то есть и независят от номера опыта. Основная задача, которая возникает в схеме Бернулли следующая: дано и , требуется найти вероятность того, что в повторениях опыта успех наступит в точности раз. Эта задача решается по формуле Бернулли:
.
Наиболее вероятное число успехов (мода) находится из двойного неравенства , из которого следует правило:
если - не целое, то ,
если же - целое, то имеет два значения и .
Формулу Бернулли называют еще биномиальной в силу того, что правая часть этой формулы является общим членом разложения по формуле Ньютона
.
Обозначим вероятность того, что в опытах схемы Бернулли успех наступит от до раз, символом . Тогда
.
Первое обобщение схемы Бернулли. Опыт повторяется раз, вероятность успеха в -том опыте равна - вероятность неудачи в -том опыте. Требуется, найти вероятность того, что в опытах успех наступит раз (неудача - раза). Для решения этой задачи вводят производящую функцию - многочлен от переменной :
.
Если раскрыть все скобки, то получится:
,
т.е. искомая вероятность является коэффициентом при .
Второе обобщение схемы Бернулли. Повторяется опыт раз, причем при каждом повторении опыт имеет исходов с вероятностями , которые от опыта к опыту не изменяются и . Требуется найти вероятность того, что исход наступит раз . Обозначим эту вероятность через . Тогда справедлива, так называемая, полиномиальная формула Бернулли:
.
Очевидно, что при полиномиальная формула превращается в формулу Бернулли (биномиальная формула).
При больших имеет место асимптотически приближенная формула (локальная приближенная формула Муавра-Лапласа)
.
Функция табулирована (см.приложение 1). При больших имеет место асимптотически приближенная формула (интегральная приближенная формула Муавра-Лапласа)
,
где (функция Лапласа). Функцию Лапласа называют еще интегралом вероятности, она так же табулирована (см. приложение 1).
При больших и малых таких, что имеет место асимптотически приближенная формула Пуассона
.
Функция табулирована для некоторых наиболее часто встречающихся значений (см.приложение 3).
Формулу Пуассона называют формулой для редких событий из-за того, что - мала.
Случайная величина называется дискретной (прерывной), если она может принимать только конечное или бесконечное, но счетное множество значений с вероятностями , причем, ясно, что . Закон распределения , как правило, записывается в виде таблицы, которая называется еще рядом распределения
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в системе координат строят точки и соединяют их последовательно отрезками прямых и из крайних точек опускают перпендикуляры к оси абсцисс. Получающийся при этом многоугольник называется многоугольником распределения.
Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется число
,
где в случае, когда может принимать счетное множество значений , ряд
должен быть абсолютно сходящимся.
Дисперсия дискретной случайной величины равна
,
а среднее квадратическое отклонение равно .
Вероятность неравенства находят по формуле
Функцией распределения дискретной случайной величины называется функция , которая определяется формулой
Имеет место формула
Если произвольная случайная величина, то , , называется функцией распределения . Функция распределения любой случайной величины непрерывна слева в любой точке.
Если функция распределения случайной величины непрерывна всюду на , то случайная величина называется непрерывной. Для непрерывной случайной величины при любом .
Если дифференцируема всюду на за исключением, быть может, конечного числа точек в любом конечном промежутке, то называется плотностью распределения вероятностей случайной величины .
Если непрерывная случайная величина, то
Функция распределения выражается через плотность распределения вероятностей по формуле .
Имеет место формула .
Для случайных величин, имеющих плотность распределения вероятностей , математическое ожидание , диспресия определяются по формулам:
.
Среднее квадратическое отклонение .
Характеристические свойства функции распределения:
непрерывна слева в любой точке;
.
Для системы двух случайных величин функция распределения определяется по формуле . Плотность распределения вероятностей определяется по формуле .
Если - область на плоскости, то
Плотности распределения вероятностей случайных координат и системы выражаются через по формулам
.
Корреляционным моментом или ковариацией случайной точки называется число
Коэффициент корреляции между координатами и системы определяется по формуле
.
Примеры часто встречающихся законов распределения дискретных случайных величин.
Биномиальный закон распределения. Параметры ;
;
.
Пуассоновский закон распределения.
Параметр
.
Геометрический закон распределения.
Параметр
.
Если и , то закон распределения . Называется сдвинутым геометрическим. Тогда .
Гипергеометрический закон распределения.
Пусть . Если возможными значениями случайной величены являются , а соответствующие вероятности определяются по формуле
,
то говорят, что имеет гипергеометрический закон распределения, - параметры.
Примеры наиболее часто встречающихся законов распределения непрерывных случайных величин.
Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Параметры - может принимать любое действительное значение. Плотность распределения вероятностей
Функция распределения выражается через функцию Лапласа
.
Равномерный закон распределения на отрезке . Возможные значения , плотностьраспределения вероятностей
.
Функция распределения
.
Показательный закон распределения. может принимать любое неотрицательное действительное значение. Параметр .
Плотность распределения вероятностей и функция распределения задаются формулами:
.