2.3. Графоаналитический метод кинематического анализа

Его называют также методом планов скоростей и ускорений.

Задача о положениях решается графическим методом, то есть построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном масштабе длин.

Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением планов скоростей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных) положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных уравнений скоростей и ускорений звеньев механизма.

Преимущества этого метода по сравнению с графическим следующие: он менее трудоёмок, так как позволяет определять скорости и ускорения (их величину и направление) на одном плане скоростей или плане ускорений для множества точек механизма.

Недостатком метода является то, что требуется построить планы скоростей и ускорений для нескольких положений механизма (если необходимо определять скорость и ускорение при различных положениях механизма и, соответственно, его звеньев).

2.4. Планы скоростей и ускорений шарнирного четырёхзвенника

Как правило, при решении задач такого типа известны угловая скорость ₁ ведущего звена 1 – кривошипа, длины звеньев и координаты неподвижных точек.

Последовательность решения задачи следующая:

а) Строится план механизма (рис. 2.2) в выбранном масштабе длин m_L:

, м/мм,

где L_OA – длина кривошипа, м,

AO – длина отрезка, изображающего кривошип на плане механизма, мм.

Для построения плана механизма остальные длины звеньев и координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис. 2.2) переводятся масштабом длин m_L в отрезки:

AB = L_AB/m_L, мм;

BC = L_BC/m_L, мм;

OC = L_OC/m_L, мм.

б) Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных точек, принадлежащим звеньям механизма.

Векторное уравнение для звена 2 (шатуна):

V_В = V_А + V_ВА , (2.1)

где V_А = V_АО – скорость точки А, которая равна скорости точки А относительно оси вращения кривошипа - точки О;

V_ВА – вектор относительной скорости точки В шатуна относительно А; он имеет направление, перпендикулярное отрезку АВ на плане механизма.

Векторное уравнение для звена 3 (коромысла):

V_В = V_С + V_ВС. (2.2)

Так как точка С (ось вращения коромысла 3) неподвижна, то её скорость равна нулю (V_С = 0), а вектор относительной скорости точки В относительно С (V_ВС) имеет направление, перпендикулярное отрезку ВС на плане механизма.

в) Строится план скоростей механизма. План скоростей – это не что иное, как графическое изображение на чертеже векторных уравнений (2.1) и (2.2) в каком-либо масштабе.

План скоростей механизма и его свойства

План скоростей желательно строить рядом с планом механизма (рис. 2.2.). Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа:

, м/с.

Затем выбирается масштаб плана скоростей m_ по соотношению

, ,

где _A – скорость точки А, м/с;

P_Va – длина отрезка, изображающего на будущем плане скоростей скорость V_A; выбирается произвольной длины в мм; при выборе желательно придерживаться следующих условий: во-первых, чтобы план скоростей разместился на отведённом месте чертежа и, во-вторых, чтобы численное значение масштаба _ было удобно для расчётов (другими словами – чтобы _ был «круглым числом»).

После этого можно приступать к построению плана скоростей механизма. Его желательно проводить в последовательности, соответствующей написанию векторных уравнений (2.1) и (2.2).

Сначала проводится из произвольно выбранной рядом с планом механизма точки Р_ (полюса плана скоростей) вектор скорости V_А, который перпендикулярен отрезку ОА на плане механизма и имеет длину P_Va, выбранную нами при определении масштаба плана скоростей m_u. Затем через точку a проводится линия, перпендикулярная отрезку АВ плана механизма, а через полюс P_V – линия, перпендикулярная отрезку ВС. Пересечение этих линий даёт точку b. В соответствии с векторными уравнениями (2.1) и (2.2) на построенном плане наносятся направления (стрелки) векторов V_В и V_ВА.

Определим скорость точки К, принадлежащей шатуну. Для неё можно записать следующие векторные уравнения скоростей:

V_К = V_А + V_КА;

V_К = V_В + V_КВ..

Здесь вектор скорости V_КА перпендикулярен отрезку АК на плане механизма, а вектор V_КВ – отрезку КВ. Построением этих векторных уравнений получаем точку k на плане скоростей. При этом из точки a плана ускорений проводим линию, перпендикулярную отрезку АК, а через точку b плана ускорений – линию, перпендикулярную отрезку ВК плана механизма. Величину скорости точки К можно вычислить по формуле:

V_К = (Р_Vk) ^. _V,

где Р_Vk – длина соответствующего вектора на плане скоростей.

Можно заметить, что треугольники на плане скоростей и плане механизма подобны:

,

так как стороны их взаимно перпендикулярны. Это свойство можно использовать для определения скорости любой другой точки, принадлежащей какому либо звену механизма. Отсюда следует теорема подобия: отрезки относительных скоростей на плане скоростей образуют фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма. Стороны фигур взаимно перпендикулярны.

Угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3 рассчитываются по формулам

, c^-1,

, c^-1.

Направления угловых скоростей определяются по направлениям векторов V_ВА и V_BC. Для этого надо вектор V_ВА условно перенести в точку В плана механизма и посмотреть, куда он будет вращать шатун 2 относительно точки А. В ту сторону и будет направлена угловая скорость шатуна ω₂.

Аналогично поступают со скоростью V_ВА, условно перенеся ее в точку В плана механизма и смотря, в каком направлении будет вращаться коромысло относительно точки С. Туда и будет направлена угловая скорость ω₃.

План ускорений механизма и его свойства

Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма аналогична построению плана скоростей. Рассмотрим её на примере механизма шарнирного четырехзвенника (рис.2.2). Примем угловую скорость кривошипа постоянной (₁ = const, что является наиболее распространённым и рациональным видом движения в реальных механизмах).

Векторное уравнение ускорений для звена 1 (кривошипа)

а_А = а_АО = аⁿ_АО + а^_АО ,

где нормальная составляющая ускорения точки A относительно O рассчитывается по формуле

.

Вектор аⁿ_АО параллелен отрезку АО на плане механизма. Тангенциальная составляющая ускорения а^_АО рассчитывается по формуле

.

В нашем случае угловое ускорение кривошипа ₁ = 0, тогда

Векторное уравнение ускорений для звена 2 (шатуна)

а_В = а_А + аⁿ_ВА + а^_ВА,

где нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки А рассчитывается по формуле

,

вектор аⁿ_ВА параллелен отрезку АВ и направлен от В к А, а тангенциальная составляющая а^_ВА перпендикулярна АВ.

Векторное уравнение ускорений для звена 3 (коромысла)

а_В = а_С + аⁿ_ВС + а^_ВС,

где ускорение точки С а_С = 0, нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки С рассчитывается по формуле

.

Вектор аⁿ_ВС направлен параллельно отрезку ВС плана механизма от В к С, а вектор а^_ВС – перпендикулярно ВС.

Выбираем масштаб плана ускорений: , , где Р_аа^’ – длина отрезка, изображающего ускорение на плане ускорений. Его длина выбирается произвольно из расчета, чтобы, во-первых, план ускорений разместился на отведенном месте чертежа и, во-вторых, чтобы численное значение μ_а было удобным для расчетов (другими словами – чтобы μ_а был круглым числом).

Тогда ускорение аⁿ_ВА будет изображаться на плане ускорений вектором, имеющим длину , мм, а ускорение аⁿ_ВС - вектором длиной , мм.

Затем строится план ускорений (рис.2.2) с использованием составленных векторных уравнений ускорений, в следующей последовательности.

Из произвольно выбранного полюса Р_а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения , длина которого Р_аа’ была выбрана произвольно при расчете масштаба μ_а. Из конца этого вектора (точки а’) проводится вектор ускорения длиной а’n₂, который должен быть параллелен отрезку АВ плана механизма и направлен от точки В к точке А. Перпендикулярно ему через точку n₂ проводят прямую. Затем из полюса Р_а проводят вектор ускорения длиной Р_аn₃. Перпендикулярно ему через точку n₃ проводят прямую до пересечения с прямой, проведенной через точку n₂ перпендикулярно отрезку АВ. Точка пересечения обозначается буквой b’, которая, будучи соединена с полюсом Р_а, образует отрезок Р_аb’, изображающий вектор полного ускорения точки В.

Используя план ускорений, можно вычислить ускорения:

, _.

Можно записать так: ,

где ₂ и ₂ – угловые скорость и ускорение шатуна. Из этого уравнения следует:

.

В этом уравнении ₂ и ₂ не зависят от выбора (расположения) полюса Р_а плана ускорений, а отношение масштабов постоянно _L/_a= const для данного плана ускорений. Поэтому для любой точки (например К, принадлежащей шатуну) можно записать пропорции

.

Отсюда формулируется теорема подобия:

Отрезки полных относительных ускорений на плане ускорений образуют фигуру, подобную соответствующей фигуре звена на плане механизма.

Величину ускорения точки К можно вычислить по формуле

.

Угловые ускорения звеньев:

шатуна: , c^-1, направление ₂ определяется по а^_ВА;

коромысла: , c^-1; направление ₃ определяется по а^_Вс.

Так как ₂ и ₂ направлены в противоположные стороны, вращение шатуна является замедленным.

Использование плана скоростей и плана ускорений

для определения радиуса кривизны траектории движения точки

Радиус кривизны траектории движения точки (например, точки К) можно вычислить по формуле

,

где аⁿ_К – нормальная составляющая ускорения точки К.

Для определения величины (и направления) аⁿ_К следует вектор полного ускорения а_К на плане ускорений разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, причём аⁿ_К перпендикулярна вектору скорости V_К , а^_К параллельна последнему. Для этого сначала через полюс плана ускорений Р_а проводится прямая, параллельная вектору скорости точки К, а через точку k` - перпендикуляр к этой прямой; на их пересечении получают точку m.

Рис. 2.2. План механизма, планы скоростей и ускорений.

Использование плана скоростей и плана ускорений

для определения мгновенного центра скоростей (МЦС) и мгновенного центра ускорений (МЦУ) звена

Для определения МЦС и МЦУ используют теорему подобия, а именно на плане механизма строят фигуры, подобные фигурам (треугольникам) на планах скоростей и ускорений (рис.2.3):

Рис. 2.3. Определение положений мгновенных центров скоростей

P_V2 и ускорений Р_а2 шатуна.

Из теоретической механики известно, что плоскопараллельное движение звена механизма в каждый момент времени может быть представлено как вращение вокруг некоторой точки, которую называют мгновенным центром вращения или мгновенным центром скоростей (МЦС). Если данная точка относится к станине (стойке) механизма, то есть является неподвижной, то соответствующий МЦС называют мгновенным центром скоростей в абсолютном движении рассматриваемого звена. Таким образом, если мы представим, что точка P_V2 принадлежит шатуну (рис.2.3), то её скорость будет равна нулю.

Если же рассматривается движение звена относительно любого подвижного звена механизма, то соответствующий МЦС называют мгновенным центром скоростей в относительном движении рассматриваемых звеньев.

Аналогично может быть найдена условная точка, принадлежащая звену, абсолютное ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ) звена.

Очевидно, что если звено механизма совершает сложное плоскопараллельное движение, то меняются и положения МЦС и МЦУ.

2.5. Планы скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма

Последовательность построения планов скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4) аналогична той, которая приведена в предыдущем случае. Поэтому в дальнейшем некоторые подробности (расчёты масштабов, длин _е, масштабов планов скоростей _v и ускорений _а и т.д.) будет пропущены.

План скоростей кривошипно-ползунного механизма начинают строить после построения плана механизма в заданном положении, в выбранном масштабе длин _L, составления векторного уравнения скоростей и выбора масштаба плана скоростей _v.

Векторное уравнение скоростей шатуна 2 (рис. 2.4):

V_В = V_А + V_ВА,

где V_А = ₁ L_OA – скорость точки А, м/с; вектор этой скорости направлен

перпендикулярно прямой ОА кривошипа 1 (рис. 2.4) на плане механизма;

V_ВА – вектор скорости точки В относительно А; имеет направление, перпендикулярное прямой АВ на плане механизма;

V_В – вектор полной (абсолютной), скорости ползуна 3; должен быть параллельным направлению движения ползуна.

План скоростей строят в следующей последовательности: сначала из полюса плана Р_v (рис.2.4) проводится вектор скорости точки А относительно О – V_А. На плане скоростей это векторный отрезок Р_va . Затем через точку а проводится перпендикуляр к прямой АВ плана механизма и через полюс Р_v – прямая, параллельная движению ползуна 3. На пересечении этих двух прямых получается точка В. Обозначают направление векторов (“стрелки”) скоростей V_В и V_ВА.

Если, например, необходимо определить скорость точки S₂, принадлежащей шатуну 2 и расположенной на середине отрезка АВ, то, используя теорему подобия, на отрезке ab плана скоростей находят его середину (точка S₂), которая, будучи соединенная с полюсом Р_v, даст вектор V_S2, изображающий абсолютную (полную) скорость точки S₂.

Рис. 2.4. Построение планов скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма.

Рассчитывают величину линейных скоростей и угловую скорость шатуна:

, м/с;

, м/с;

, м/с;

, с^-1.

Направление вектора угловой скорости шатуна ₂ определяется следующим образом. Нужно вектор скорости V_ВА условно перенести в точку В плана механизма и посмотреть, куда он будет вращать шатун относительно точки А. В ту сторону и направлена угловая скорость ₂ шатуна.

План ускорений кривошипно-ползунного механизма строят после того, как будет составлено векторное уравнение ускорений шатуна, учитывая, что он совершает сложное движение:

а_В = а_А + аⁿ_ВА + а^_ВА.

Здесь а_А – ускорение точки А; его величину и направление можно определить, используя векторное уравнение ускорения точки А относительно оси О вращения кривошипа:

а_А = а_О + а_АО ,

причём ускорение точки А относительно О можно разложить на две составляющие – нормальное ускорение аⁿ_АО и тангенциальное а^_АО, т.е.

а_АО = аⁿ_АО + а^_АО .

Так как точка О неподвижна и ускорение её равно нулю (а_О = 0 и а^_АО = 0 при условии, если угловая скорость вращения кривошипа постоянна: ₁ = const, и, значит, угловое ускорение его ₁ = 0), то векторное уравнение ускорения точки А можно записать в виде:

а_А = аⁿ_АО .

Величина нормальной составляющей ускорения (нормальное ускорение) рассчитывается по формуле:

.

Вектор его направлен по радиусу вращения кривошипа от точки А к точке О.

Затем вычисляется нормальное ускорение точки В относительно А по формуле

Вектор его направлен от В к А.

После выбора масштаба плана ускорений по формуле

величина нормального ускорения aⁿ_BA переводится этим масштабом в векторный отрезок длиной

, мм.

Затем строится план ускорений в такой последовательности (рис. 2.4): из произвольно выбранного полюса Р_а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения aⁿ_AО, длина которого была выбрана произвольно при расчёте масштаба _а. Из конца этого вектора (точки ) проводится вектор ускорения aⁿ_BA длиной , который должен быть параллелен отрезку АВ плана механизма и направлен от точки В к А. Перпендикулярно ему через точку n₂ проводят прямую до пересечения с прямой, проведённой через полюс Р_а параллельно линии движения ползуна 3. Полученная точка их пересечения b' определяет длины векторов ускорений a_BA и a_B.

Для нахождения величины ускорения точки S₂, принадлежащей шатуну, можно применить теорему подобия. При этом необходимо на векторе, изображающем на плане ускорений относительное ускорение a_BA, найти соответствующую точку S₂', делящую отрезок a'b' в той же пропорции, что и точка S₂ делит отрезок АВ на плане механизма.

Угловое ускорение шатуна вычисляется по формуле:

, с^-1,

где n₂b'– длина вектора на плане ускорений, изображающего тангенциальное ускорение а .

Направление вектора углового ускорения шатуна ₂ определяется следующим образом: нужно вектор тангенциального ускорения а условно перенести в точку В плана механизма и посмотреть, куда он будет вращать шатун относительно точки А. В ту сторону и направлено ускорение ₂ шатуна.