№435 Заданы плотности распределения независимых составляющих непрерывной двумерной случайной величины ( , ):
Найти: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы.
Решение:
а) Если составляющие системы независимы, то двумерная плотность вероятности равна произведению плотностей составляющих, поэтому
Функция совместного распределения системы равна произведению функций распределения составляющих, поэтому
Найдем функции распределения составляющих
Итак,
№436 Непрерывная двумерная случайная величина ( , ) распределена равномерно в круге радиуса с центром в начале координат. Доказать, что и зависимы, но некоррелированны.
Решение:
Величины и будут зависимы, если условные плотности их распределения не равны их безусловным плотностям. Покажем это.
Так как величина ( , ) распределена равномерно в круге радиуса с центром в начале координат, то для находжения безусловных плотностей состовляющих расставим соответствующие границы интегрирования, а также обозначим функцию распределения константой: .
Найдем условные плотности:
Значит, величины зависимы. Убедимся теперь, что корреляционный момент равен нулю. Обозначим круг, в котором распределены величины, областью
Найдем математические ожидания
Аналогично
,
Рассмотрим корреляционный момент:
Значит величины некоррелированны.
Что и требовалось доказать.
№437 Доказать, что если двумерную
плотность вероятности системы случайных
величин (
,
)
можно представить в виде произведения
двух функций, одна из которых зависит
только от
,
а другая—только от
,
то величины
и
независимы.
Решение:
По условию,
(*)
Найдем плотности распределения составляющих:
, (**)
. (***)
Выразим
из (**) и
из (***):
,
.
в силу (*)
.
Учитывая,
что, по второму свойству двумерной
плотности вероят ности,
и, следовательно,
,
окончательно получим .
Таким образом, двумерная плотность вероятности рассматриваемой системы равна произведению плотностей вероятности составляющих. Отсюда следует, что и независимы, что и требовалось доказать.
№438
Доказать, что если
и
связаны линейной зависимостью
то абсолютная величина коэффициента
корреляции равна единице.
Решение:
По
определению коэффициента корреляции
,
где
(*)
Найдем математическое ожидание :
(**)
Подставив (**) в (*), после элементарных преобразований получим
.
Учитывая, что
,
найдем дисперсию
:
.
Отсюда
.Следовательно,
коэффициент корреляции
.
Если
,
то
;
если
,
то
.
Итак,
,
что и требовалось доказать.
№439 Выборка задана в виде распределения частот:
Найти распределение относительных частот.
Решение:
Найдем
объем выборки;
.
Найдем
относительные частоты:
;
;
.
Напишем искомое распределение относительных частот:
Контроль:
.
№440 Выборка задана в виде распределения частот:
Найти распределение относительных частот.
Решение:
Найдем
объем выборки:
.
Найдем
относительные частоты:
;
;
;
.
Напишем искомое распределение относительных частот:
Контроль:
.
№441 Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
Решение:
Найдем
объем выборки:
.
Наименьшая
варианта равна единице, поэтому
при
.
Значение
,
а именно
,
наблюдалось 10 раз, следовательно,
при
.
Значения
,
а именно:
и
,
наблюдались 10+12=25 раз; следовательно,
при
.
Так
как
—
наибольшая варианта, то
при
.
Напишем искомую эмпирическую функцию:
№442 Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
а)
б)
Решение:
а)
Найдем объем выборки:
.
Наименьшая
варианта равна 2, поэтому
при
.
Значение
,
а именно
,
наблюдалось 1 раз, следовательно,
при
.
Значения
,
а именно:
и
,
наблюдались
раз; следовательно,
при
.
Значения
,
а именно:
,
,
,
наблюдались
раз; следовательно,
при
.
Так
как
— наибольшая варианта, то
при
.
Ответ:
б)
Найдем объем выборки:
.
Наименьшая
варианта равна 4, поэтому
при
.
Значение
,
а именно
,
наблюдалось 5 раз, следовательно,
при
.
Значения
,
а именно:
и
,
наблюдались
раз;
следовательно,
при
.
Так как — наибольшая варианта, то при .
Ответ:
№443 Построить полигон частот по данному распределению выборки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Отложим
на оси абсцисс варианты
,
а на оси ординат —соответствующие им
частоты
соединив точки
отрезками прямых, получим искомый
полигон частот.
№444 Построить полигон частот по данному распределению выборки:
а)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
№445 Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
А).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Отложим на оси абсцисс варианты а на оси
ординат—соответствующие
относительные частоты
.
Соединив
точки
отрезками
прямых, получим искомый полигон
относительных частот
Б).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№446 Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема n=100:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины
.
Проведем
над этими интервалами отрезки, параллельные
оси
абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим
плотностям
частоты
.
Например,
над интервалом
построим
отрезок, параллельный оси абсцисс, на
расстоянии
;
аналогично строят остальные отрезки.
№447 Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№448 Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем относительные частоты:
.
Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина
интервала h=2:
.
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над интервалом (О, 2) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки.
№449 Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:
а)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем относительные частоты:
Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина
интервала h=5:
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Найдем относительные частоты:
Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина
интервала h=3:
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.
№450 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя
=
(
.
№451 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хi 1 3 6 26
ni 8 40 10 2
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
Решение.
Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя
=
(
=
.
№452 Задано распределение первоначальных вариант выборки объема п:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказать, что
где
условные варианты
Решение.
Так как
;
суммируя
левую и правую части равенства по всем значениям i получим
=
или
=
=
Отсюда
Следовательно,
или
, что и требовалось доказать.
№453 Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=10:
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Первоначальные варианты — большие числа, поэтому
перейдем
к условным вариантам.
.
В итоге получим
распределение условных вариант:
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем искомую выборочную среднюю:
Саградов Арсен
№454 Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=20:
xi |
2560 |
2600 |
2620 |
2650 |
2700 |
ni |
2 |
3 |
10 |
4 |
1 |
Решение:
Первоначальные варианты – большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам ui=xi – 2620. В итоге получим распределение условных вариант
ui |
-60 |
-20 |
0 |
30 |
80 |
ni |
2 |
3 |
10 |
4 |
1 |
Найдем искомую выборочную среднюю
Ответ: 2621
№455.
По выборке объема n = 41
найдена смещенная оценка
=
3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную
оценку дисперсии генеральной совокупности.
Решение.
Искомая несмещенная оценка равна исправленной
дисперсии:
=
=
№456 По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка DB=5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
Решение
Искомая несмещенная оценка равна исправленной дисперсии
Ответ 5,1
№457. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную
и исправленную дисперсии ошибок прибора.
Решение:
а) Найдем выборочную среднюю:
=
92 +(0+2 + 11 + 13 + 14)/5=92+8 =100.
б) Найдем выборочную дисперсию:
=
=[
+
+
]/5+
+
+
]/5
= 34.
Найдем исправленную дисперсию:
№458 В итоге 4 измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: А) Выборочную среднюю результатов измерений; Б) Выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
Решение
А) Найдем выборочную среднюю
Б) Найдем выборочную дисперсию
Найдем исправленную дисперсию
Ответ:
10; 2,5;
№459 Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов
Рост |
154-158 |
158-162 |
162-166 |
166-170 |
170-174 |
174-178 |
178-182 |
Число студентов |
10 |
14 |
26 |
28 |
12 |
8 |
2 |
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов
Решение
Найдем середины интервалов и примем их в качества вариант
Найдем выборочную среднюю
Найдем выборочную дисперсию
Перейдем к условным вариантам ui=xi – 168. В итоге получим распределение условных вариант
ui |
-12 |
-8 |
-4 |
0 |
4 |
8 |
12 |
ni |
10 |
14 |
26 |
28 |
12 |
8 |
2 |
Ответ: 166; 33,44
№460. Найти выборочную дисперсию по данному распределению
выборки объема n=10:
186 192 194
2 5 3
Решение.
Варианты—сравнительно большие числа, поэтому
перейдем
к условным вариантам
(мы
вычли из вариант
число С = 191, близкое к выборочной средней). В итоге получим
распределение условных вариант:
—5 1 3
2 5 3
Найдем искомую выборочную дисперсию:
№461 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100
xi |
340 |
360 |
375 |
380 |
ni |
20 |
50 |
18 |
12 |
Решение
Перейдем к условным вариантам ui=xi – 360. В итоге получим распределение условных вариант
ui |
-20 |
0 |
15 |
20 |
ni |
20 |
50 |
18 |
12 |
Найдем искомую выборочную дисперсию
Ответ: 167,29
№462 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100
xi |
2502 |
2804 |
2903 |
3028 |
ni |
8 |
30 |
60 |
2 |
Решение
Перейдем к условным вариантам ui=xi – 2844. В итоге получим распределение условных вариант
ui |
-342 |
-40 |
59 |
184 |
ni |
8 |
30 |
60 |
2 |
Найдем искомую выборочную дисперсию
Ответ: 12603
№463. Найти выборочную дисперсию по данному распределению
выборки объема n=10:
0,01 0,04 0,08
5 3 2
Решение.
Для того чтобы избежать действий с дробями,
перейдем к условным вариантам =100 . В итоге получим распределение
1 4 8
5 3 2
Найдем выборочную дисперсию условных вариант:
Подставив в эту формулу условные варианты и их частоты, получим
Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант:
№464 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50
xi |
0,1 |
0,5 |
0,6 |
0,8 |
ni |
5 |
15 |
20 |
10 |
Решение
Перейдем к условным вариантам ui=10xi . В итоге получим распределение условных вариант
ui |
1 |
5 |
6 |
8 |
ni |
5 |
15 |
20 |
10 |
Найдем искомую выборочную дисперсию
Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант
Ответ: 0,0344
№465 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50
xi |
18,4 |
18,9 |
19,3 |
19,6 |
ni |
5 |
10 |
20 |
15 |
Решение
Перейдем к условным вариантам ui=10xi -195. В итоге получим распределение условных вариант
ui |
-11 |
-6 |
-2 |
1 |
ni |
5 |
10 |
20 |
15 |
Найдем искомую выборочную дисперсию
Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант
Ответ: 0,1336
№466. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=10:
-
xi
102
104
108
ni
2
3
5
Решение.
Перейдем к условным вариантам ui = xi —104.
В итоге получим распределение
-
ui
-2
0
4
ni
2
3
5
Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант:
Подставив
в эту формулу условные варианты, их
частоты и объем выборки, получим
=6,93.
Все
первоначальные варианты были уменьшены
на одно и то же постоянное число С=104,
поэтому дисперсия не изменилась, т. е.
искомая дисперсия равна дисперсии
условных вариант:
=6,93.
№467. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100:
-
xi
1250
1275
1280
1300
ni
20
25
50
5
Указание. Перейти к условным вариантам ui=xi—1275.
Решение.
Перейдем к условным вариантам ui=xi—1275.
В итоге получим распределение
-
ui
-25
0
5
25
ni
20
25
50
5
Воспользуемся формулой
Подставив в эту формулу условные варианты, их частоты и объем выборки, получим =168,88.
Все первоначальные варианты были уменьшены на одно и то же постоянное число 1275, поэтому дисперсия не изменилась, т. е. искомая дисперсия равна дисперсии условных вариант: =168,88.
Ответ: 168,88.
№468. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п=10:
-
xi
0,01
0,05
0,09
ni
2
3
5
Решение.
Для того чтобы избежать действий с дробями, перейдем к условным вариантам ui=100 xi. В итоге получим распределение
-
ui
1
5
9
ni
2
3
5
Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант
Подставив в эту формулу данные задачи, получим
=10,844.
Найдем искомую исправленную дисперсию первоначальных вариант:
=
10,844/10 000
0,0085.
№469. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п=20:
-
xi
0,1
0,5
0,7
0,9
ni
6
12
1
1
Указание. Перейти к условным вариантам ui=10 xi
Решение.
Перейдем к условным вариантам ui=10 xi. В итоге получим распределение
-
ui
1
5
7
9
ni
6
12
1
1
Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант по формуле
Подставив в эту формулу данные задачи, получим
=5,25.
Найдем искомую исправленную дисперсию первоначальных вариант:
=
5,25/100
0,0525.
Ответ: 0,0525.
№470. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 10:
-
xi
23,5
26,1
28,2
30,4
ni
2
3
4
1
Указание. Перейти к условным вариантам ui=10 xi —268.
Решение.
Перейдем к условным вариантам ui=10 xi —268.
Получим распределение
-
ui
-33
-7
14
36
ni
2
3
4
1
Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант:
Подставив в эту формулу данные задачи, получим =489,4.
Найдем искомую исправленную дисперсию первоначальных вариант. Все первоначальные варианты были уменьшены на одно и то же постоянное число 268, поэтому дисперсия от вычитания не изменилась, но так как первоначальные данные были также умножены на 10, исправленную дисперсию нужно разделить на 102:
=489,4/100
0,489.
№471. Случайная величина X распределена по закону Пуассона
где m—число испытаний, произведенных в одном опыте, xi—число появлений события в i-м опыте.
Найти
методом моментов по выборке х1,
х2, . . . , хn,
точечную оценку неизвестного параметра
,
определяющего распределение Пуассона.
Решение.
Требуется
оценить один параметр, поэтому достаточно
иметь одно уравнение относительно этого
параметра. Приравняем начальный
теоретический момент первого порядка
начальному эмпирическому моменту
первого порядка M1:
= M1
Приняв
во внимание, что
=M(X),
M1 =
,
получим M(X)=
.
Учитывая, что математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру этого распределения (см. задачу 207), окончательно имеем = .
Итак,
точечной оценкой параметра
распределения
Пуассона служит выборочная средняя:
=
.
№472. Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n = 1000 пробах зерна (в первой строке указано количество xi сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота ni —число проб, содержащих xi семян сорняков):
-
xi
0
1
2
3
4
5
6
ni
405
366
175
40
8
4
2
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.
Указание. Использовать решение задачи 471.
Решение.
Чтобы найти точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона , воспользуемся равенством, полученным в задаче 471:
= .
Причем выборочная средняя равна:
Следовательно,
.
Подставив в формулу условия задачи, получим = 0.9.
Ответ: 0.9.
№473. Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в n = 200 партиях (в первой строке указано количество xi- нестандартных изделий в одной партии, во второй строке указана частота ni — число партий, содержащих xi нестандартных изделий):
-
xi
0
1
2
3
4
ni
132
43
20
3
2
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.
Решение.
Воспользуемся формулой, полученной в задачах 471 и 472:
= .
Подставив данные задачи в эту формулу, получаем, что =0.5.
Ответ: 0.5.
№474. Найти методом моментов по выборке х1, х2, . . . , хn, точечную оценку параметра р биномиального распределения
где xi — число появлений события в i-м опыте (i = 1, 2, . . . , n), т — количество испытаний в одном опыте.
Указание. Приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка.
Решение.
Требуется оценить один параметр, поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка M1:
= M1
Приняв во внимание, что =M(X), M1 = , получим M(X)= .
Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в в одном испытании:
M(X)=mp.
Следовательно,
,
где xi — число появлений события в i-м опыте.
Отсюда
.
Ответ:
№475. Случайная величина X (число появлений события А в т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром
р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом (в первой строке указано число xi появлений
события А в одном опыте; во второй строке указана частота ni— количество опытов, в которых наблюдалось xi появлений события А):
-
xi
0
1
2
3
4
ni
5
2
1
1
1
Найти методом моментов точечную оценку параметра р биномиального распределения.
Указание. Использовать решение задачи 474.
Решение.
Воспользуемся формулой, полученной в задаче 474
В нашей задаче n=10, m=5. Подставив данные в формулу, получим
p = 0,22.
Ответ: 0,22.
№476.
Найти методом моментов по выборке х1,
х2, . . . , хn
точечную оценку неизвестного
параметра
показательного
распределения, плотность которого
(
).
Решение.
Требуется оценить один параметр, поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка M1:
= M1
Приняв во внимание, что =M(X), M1 = , получим M(X)= .
Воспользуемся формулой
,
где f(x) – плотность распределения случайной величины Х. Так как по условию , рассмотрим интергал
.
Подставив f(x), вычислим M(X):
Интергируем по частям:
Получаем:
Вычислим
при x=a.
Воспользуемся правилом Лопиталя:
.
При х=0 =0, следовательно, первое слагаемое в формуле равно 0. Таким образом,
.
Нетрудно
видеть, что
при
,
=1.
Значит,
.
Окончательно имеем
.
Итак,
точечной оценкой параметра
распределения
Пуассона служит выборочная средняя:
.
Ответ: .
№477. Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение ( ). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время хi работы элемента в часах, во второй строке указана частота ni —количество элементов проработавших в среднем хi часов):
-
xi
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
ni
133
45
15
4
2
1
Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.
Указание. Использовать решение задачи 476.
Решение.
Воспользуемся формулой, полученной в задаче 476:
,
где .
Таким образом, точечную оценку параметра показательного распределения будет искать по формуле:
Подставив
данные задачи, получим
0.2.
Ответ: 0.2.
Черный Андрей
№488.
Случайная величина X распределена по «двойному» закону Пуассона:
Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в n=327 испытаниях (в первой строке указано число хi,- появлений события; во второй строке приведена частота ni — количество испытаний, в которых появилось хi событий):
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
ni |
28 |
47 |
81 |
67 |
53 |
24 |
13 |
8 |
3 |
2 |
1 |
Найти
методом моментов точечные оценки
неизвестных параметров
и
«двойного распределения» Пуассона.
Указание. Использовать решение задачи 487. Вычислить по выборке начальные эмпирические моменты первого и второго порядков:
Решение:
Воспользуемся формулами из решения задачи 487 для нахождения параметров и :
,
,
где
,
.
Подставив
данные задачи, получим
,
.
Отсюда
,
.
№489.
№490.
Случайная величина X (число появлений события А в т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в 1000 испытаний (в первой строке указано число хi появлений события в одном опыте из m=10 испытаний, во второй строке приведена частота ni — число опытов, в которых наблюдалось хi появлений события А):
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
ni |
2 |
3 |
10 |
22 |
26 |
20 |
12 |
5 |
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биномиального распределения.
Указание. Использовать задачу 489.
Решение:
Исходя из решения задачи 489, точечную оценку неизвестного параметра p биномиального распределения можно вычислить по формуле:
.
По условию, nm=1000, значения хi и ni приведены в таблице.
Подставив
данные задачи в эту формулу, получим
.
№493.
№494.
Случайная
величина X (время безотказной
работы элемента) имеет показательное
распределение
.
Ниже приведено эмпирическое
распределение
среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время хi безотказной работы одного элемента в часах; во второй строке указана частота ni —количество элементов, проработавших в среднем хi часов):
хi |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
65 |
ni |
365 |
245 |
150 |
100 |
70 |
45 |
25 |
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.
Указание: Использовать задачу 493.
Решение:
Согласно решению задачи 493, в качестве оценки наибольшего правдоподобия надо принять , где - выборочная средняя, равная .
Подставим
в последнюю формулу данные задачи.
Получим
.
Отсюда искомая величина
.
№491. Случайная величина X (число появлений события А в m независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром :
,
где т—число испытаний в одном опыте, хi—число появлений события в i-м опыте (i = 1, 2, . . . , n).
Найти
методом наибольшего правдоподобия по
выборке
,
точечную оценку неизвестного параметра
распределения Пуассона.
Решение:
Составим функцию правдоподобия:
.
Учитывая,
что
и
,
получим
Напишем логарифмическую функцию правдоподобия:
.
Найдем первую производную по :
.
Приравняв первую производную нулю и решив полученное уравнение, получим критическую точку:
.
Найдем вторую производную по :
Легко убедиться, что при вторая производная отрицательна; следовательно, эта точка есть точка максимума и ее надо принять в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности :
.
Очевидно, что если xi появлений события наблюдалось в ni опытах, то
.
№492. Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром . Ниже
приведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строке указано количество хi поврежденных изделий в одном контейнере, во второй строке приведена частота ni — число контейнеров, содержаш.их хi поврежденных изделий):
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
ni |
199 |
169 |
87 |
31 |
9 |
3 |
1 |
1 |
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуассона.
Указание: Использовать задачу 491.
Решение:
Исходя из решения задачи 491, точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона можно вычислить по формуле:
.
По условию, n=500, значения хi и ni приведены в таблице.
Подставив
данные задачи в эту формулу, получим
.