Примеры решения задач
Задача 1.
Найти координаты векторного произведения
,
если
,
.
Решение.
Найдем
и
.
Векторное произведение, по определению,
равно
.
Задача 2.
Силы
и
приложены к точке
.
Вычислить величину момента равнодействующей
этих сил
относительно точки
.
Решение.
Найдем силу
и плечо
:
.
Момент
сил
вычисляется по формуле
,
а его модуль
.
Задача 3. Даны
координаты вершин параллелепипеда:
.
Найти объем параллелепипеда, его высоту,
опущенную из вершины С, угол между
вектором AD
и гранью, в которой лежат векторы АВ и
АС.
Решение. По определению, объем параллелепипеда равен смешанному произведению векторов, на которых он построен. Найдем эти векторы:
.
Объем этого
параллелепипеда
.
С другой стороны,
объем параллелепипеда
,
- это площадь параллелограмма:
.
,
тогда высота
.
Угол между вектором и гранью найдем по формуле
.
так как вектор
перпендикулярен грани, в которой лежат
векторы
.
Угол между этим вектором и вектором
находим по известной формуле
.
Очевидно, что искомый угол
.
Итак:
.
Задача 4.
Проверить,
лежат ли в одной плоскости точки
,
.
Найти линейную зависимость вектора
,
если это возможно.
Решение.
Найдем три вектора:
.
.
Три вектора лежат
в одной плоскости, если они компланарны,
т. е. их смешанное произведение равно
нулю:
.
Следовательно, эти три вектора линей-
н
о
зависимы. Найдем линейную зависимость
от
.
.
Решая эту систему,
получим
,
т.е.
.
Задачи
1.
.
Вычислить: а)
;
б)
;
в)
.
2.
.
Вычислить площадь треугольника,
построенного на векторах
и
.
3. Заданы векторы
.
Найти координаты векторов:
а)
б)
;
в)
.
4. Вычислить
площадь треугольника с вершинами
.
5. В треугольнике
с вершинами
,
и
найти высоту
.
6. Найти вектор
,
если векторы
имеют следующие координаты:
.
7. Сила
приложена к точке
.
Определить момент этой силы относительно
точки
.
8. Установить,
образуют ли векторы
базис в множестве всех вектров, если
а)
;
б)
.
9. Вычислить
объем тетраэдра ОАВС, если
.
10. В тетраэдре
с вершинами в точках
и
вычислить высоту
.
11. Проверить, компланарны ли данные векторы:
а)
;
б)
.
12. Доказать, что
четыре точки
лежат в одной плоскости.
13. Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD , если известно, что она лежит на оси Oy, а объем тетраэдра равен V:
а)
;
б)
.
Домашнее задание
1. Упростить
выражение
.
2. Найти площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и
,
где
-
единичные векторы, угол между которыми
равен
.
3. Даны векторы
.
Найти вектор
.
4. Дан треугольник
с вершинами
.
Найти его площадь.
5. Даны силы
,
приложенные к точке
.
Определить величину и направляющие
косинусы момента равнодействующей этих
сил относительно точки
.
6. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах:
1)
,
где
- взаимно перпендикулярные орты;
2)
.
7. Доказать, что
точки
лежат в одной
плоскости.
8. Даны вершины
тетраэдра
.
Найти длину высоты, опущенной из вершины
О на грань АВС.
9. Векторы , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная,
что
,
вычислить
.
10. Вектор
перпендикулярен к векторам
,
угол между
равен
.
Зная, что
,
вычислить
.
11. Даны векторы
.
Вычислить
.
12. Установить,
компланарны ли векторы
,
если
1)
;
2)
;
3)
.
13. Доказать, что
точки
лежат в одной плоскости.
14. Вычислить
объем тетраэдра, вершины которого
находятся в точках
.
15. Даны вершины
тетраэдра
.
Найти его высоту, опущенную из вершины
D.
16. Объем тетраэдра
,
три его вершины находятся в точках
.
Найти координаты четвертой вершины D,
если известно, что она лежит на оси
.