§ 2. Уравнения движения и равновесия

Известно, что основным динамическим уравнением движения материальной точки является второй закон Ньютона ma = F, a широко используемыми следствиями этого закона являются сле­дующие общие теоремы движения системы материальных точек:

а) производная по времени от количества движения

системы равна сумме всех действующих на систему внешних сил

(2.6)

и называется уравнением количества движения или уравнением импульсов:

(2.6')

б) производная по времени от кинетического момента системы относительно какого-либо неподвижного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т. е.

(2.7)

называется уравнением моментов количества движения;

в) дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил, т. е.

dK=dA (2.8)

называется уравнением механической энергии или теоремой живых сил.

Для любого мысленно выделяемого индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью S, уравнения (2.6) — (2.8) остаются в силе, если динамические величины определить следующим образом:

, ,

соответственно количество движения, момент количества движе­ния и кинетическая энергия сплошной среды в объеме V;

соответственно сумма внешних объемных и поверхностных (непрерывно распределенных и сосредоточенных) сил к их момен­тов относительно некоторого неподвижного центра О, действую­щих на среду в объеме V;

сумма элементарных работ внешних и внутренних объемных и поверхностных сил.

В этом случае уравнения (2.6) и (2.7) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплош­ной среды¹, подобно второму закону Ньютона в механике материальной точки. Они служат исходными для описания любых движений любой сплошной среды, в том числе для разрывных движений и ударных процессов. ¹ Эти уравнения для индивидуального объема сплошной среды не вытекают из подобных уравнений движения системы материальных точек, а являются самостоя­тельными.

Уравнение (4.8) одно из наиболее важных следствий уравнений (4.6) и (4.7) при непрерывных движениях в пространстве и времени.

При непрерывных движениях интегральная теорема движения (4.6) эквивалентна следующим трем дифференциальным уравне­ниям:

в цилиндрической системе координат при осевой симметрии

(2.9)

в декартовой системе координат

(i=1,2,3)

где проекции ускорения a_i вычисляют по формулам (1.6).

Эти уравнения, связывающие компоненты v_i вектора скорости и тензора напряжений {σ_ij}, являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (или импульса) для бесконечно малого объема среды.

Если движения частиц происходят без ускорения (a_i=0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (2.9) называются дифферен­циальными уравнениями равновесия.

При непрерывном движении сплошной среды теорема момен­тов количества движения (2.7) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т. е. σ_ij = σ_ji. Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.

Интегральная теорема живых сил (2.8) эквивалентна следую­щему дифференциальному уравнению:

dK=dW=dA^(e) (2.10)

где — соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объема сплошной среды; —элементарная работа внешних объемных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объема среды.

Уравнение (2.10) является следствием уравнений движения (4.9) и представляет собой уравнение баланса механической энергии. В об­щем случае оно не является законом сохранения энергии, но его мож­но так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не пере­ходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: закон сохранения механической энергии и закон сохранения энергии другого вида.