Общие требования к оформлению отчетов по лабораторным работам
Отчет по лабораторной работе должен соответствовать основным требованиям ГОСТа, предъявляемым к технической документации.
Отчет допускается оформлять только на листах белой бумаги формата А4 (210х295 мм). Текст и рисунки размещаются с одной стороны листа, другая остается свободной. Поля должны быть не менее 25 мм слева и 15 мм справа, сверху и снизу. Рамка не является обязательной. Листы, начиная со второго, должны быть пронумерованы в правом верхнем углу. Листы скрепляются скобками с левой стороны. Перегибать и складывать листы не допускается.
Первым оформляется титульный лист общего вида. На следующей странице формулируются цель работы, общее задание и приводятся данные конкретного варианта. Далее описывается ход работы, приводятся (если требуется) формулы, расчетные соотношения, алгоритмы, тексты программ и результаты расчетов (экспериментов) в виде таблиц, схем, рисунков и графиков. В соответствии с ожидаемыми и полученными результатами делаются выводы об успешном (неудачном) выполнении задания, производится анализ допущенных ошибок и предлагаются варианты их устранения, а также предлагаются способы получения наиболее оптимальных результатов.* Выводы должны быть написаны самостоятельно, а не дублировать заключение из методического пособия по лабораторным работам.
Нумерация пунктов, таблиц, схем, рисунков и графиков сквозная. Не допускается размещать заголовок на одной странице, а следующий за ним текст - на другой.
Отчет сдается в виде твердой копии (распечатанный), в электронном виде не принимается. Компьютерное оформление является более предпочтительным, однако допускается частично или полностью аккуратно оформлять отчет от руки. Небрежно оформленные или неразборчиво написанные отчеты будут отправляться на переделку.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
Тема лабораторной работы: Решение элементарных оптимизационных задач в транспортных системах.
Цель лабораторной работы: Нахождение экстремумов функций, описывающих динамичность транспортного процесса с помощью инструмента «Поиск решения» в програмной среде Microsoft Excel.
Программное обеспечение: Microsoft Excel.
Основные сведения: В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят - оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем возникает на транспорте.
В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад, еще Л. Эйлер отметил: «В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума».
Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько – нибудь единых подходов. Основной метод в теории оптимально управления был разработан в пятидесятые – шестидесятые годы математиком – Л.С. Понтрягиным. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Математическая постановка задачи: Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1<x2 выполняется неравенство f(x1)< f (x2 ) (f(x1) > f(x2 )).
Если дифференцируемая функция y=f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ' (x) > 0 (f ' (x) < 0).
Точка x0nназывается точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x0, для всех точек которой верно неравенство f(x) < f(x0 ) (f(x) > f(x0 )).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Критической точкой функции называется такая точка ее области определения, в которой производная функции обращается в нуль или не существует. Критические точки функции, в которых она меняет возрастание на убывание или убывание на возрастание, называются точками экстремума.
Если в точке экстремума функция меняет убывание на возрастание, то в этой точке достигается наименьшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что такая точка является точкой локального минимума.
Если в точке экстремума функция меняет возрастание на убывание, то в этой точке достигается наибольшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что такая точка является точкой локального максимума.
Рис.1. Точки экстремума
Необходимые условия экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(x0) = 0, либо f '(x0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие экстремума. Пусть x0 - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке x0 функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет.
Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) имеет производную f '(x) в окрестности точки x0и вторую производную f ''(x0) в самой точке x0. Если f '(x0 ) = 0, f''(x0)>0, (f''(x0)<0), то точка x0 является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f''(x0)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием экстремума, либо привлекать высшие производные.
На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].
Задача исследования функции на экстремумы состоит из следующих шагов:
находят производную данной функции;
находят критические точки;
устанавливают, какие из критических точек являются точками экстремума, одновременно уточняя характер локального экстремума: максимум или минимум;
устанавливают, чему равны сами эти локальные максимумы и минимумы.
Пример нахождения экстремума заданной функции в программной среде Microsoft Excel.
Пусть дана функция f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 10 Необходимо найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-3;3]
Оформим лист Excel так: в ячейку А1 введем случайное значение 0.3, в ячейку А2 введем формулу.
-
А
В
С
1
0.3
2
=2*A1^3-3*A1^2-12*A1+10
Рис.1.
Выберем в меню Excel «Сервис» Поиск решения. При активизации данной команды перед пользователем появляется окно, он должен указать необходимые условия, перечисленные в данном окне. Например, для нашего примера мы запишем следующие условия для решения данной задачи:
-
Целевая ячейка А2, установить по *max;
Изменяя ячейки А1;
Ограничения А1>=-3;
А1<=3;
Рис.2.
После этого выдается сообщение, решение найдено, все условия ограничений соблюдены. В ячейках: А1 мы видим значение –1, в А2 17.
-
А
В
С
1
-1
2
17
Рис.3.
Запишем ответ следующим образом: maxf (x) = f(-1) = 17
[-3;3]
Теперь проделаем тоже и для нахождения минимального значения данной функции.
В ячейках А1 и А2 остаются те же значения, что и при нахождении максимума. В поиске решения изменим лишь следующее:
-
Целевая ячейка А2, установить по *min;
Изменяя ячейки А1;
Ограничения А1>=-3;
А1<=3;
Рис.4.
После выполнения решения в ячейках А1 –3, в А2 –35
-
А
В
С
1
-3
2
-35
Рис.5.
Запишем ответ следующим образом: min f(x) = f(-3) = -35
[-3;3]