- •2. Элементарные крывыя
- •3.Агульныя крывыя
- •5.Параметрычны спосаб задання элементарных крывых
- •6.* Параметрычны спосаб задання агульных крывых.
- •7*. Гладкія(рэгулярныя) элементарныя урывыя. Эквівалентныя параметрызацыі.
- •9*. Яўнае заданне прасторавай крывой ў дэкартавых каардынатах
- •10.Няяўнае заданне плоскай крывой у дэкартавых каардынатах.
- •11*.Няяўнае заданне прасторавай крывой ў дэкартавых каардынатах.
- •12*. Заданне крывых у недэкартавых каардынатах.
- •13. Датычная прамая крывой.
- •15.Нармальная плоскасць прасторавай крывой.
- •16*.Вугал паміж крывымі.
- •17.Даўжыня дугі крывой
- •18.Формулы для вылічэння даўжыні дугі.
- •19**.Натуральная параметрызацыя крывой
- •21.Суправаджальны трохграннік прасторавай крывой.
- •22.Кананічны базіс і рухомы рэпер
- •23*.Формулы Фрэнэ
- •24. Крывізна і кручэнне крывой
- •29.Крывая нулявога кручэння.Пункты сплашчэння
- •30*.Асноўная тэарэма тэорыі крывых
22.Кананічны базіс і рухомы рэпер
Правая тройка адзінкавых вектароў , дзе – орт датычнай прамой Т, - орт галоўнай нармалі N, - орт бінармалі В, называецца кананічным базісам крывой (у пункце Р).
Відавочна, што вуглы паміж парамі вектароў кананічнага базісу прамыя і мае месца ф-ла:
Чацверка , дзе пункт крывой і кананічныя в-ры ў ім наз рухомым рэперам крывой у яе пункце Р .
Узнікае пытанне: як знайсці вектары ведаючы параметрызацыю крывой . Магчымы два выпадкі:
1. Няхай Крывая задаецца натуральнай параметрызацыяй , .
Першая формула вынікае з таго, што кіроўны вектар датычнай прамой Т, і акрамя таго , паколькі - натуральная параметрызацыя. Другая формула выконваецца таму, што па-першае , па-другое (паколькі ).
2. – заданне крывой , наступныя вектары з’яўляюцца, відавочна, кіроўнымі вектарамі Т, В, N адпаведна: , - кіроўны вектар бінармалі В, - кіроўны вектар галоўнай нармалі N у пункце Р(t) (з параметрам t). Нармуючы гэтыя вектары знойдзем вектары кананічнага базісу у кожным адпаведным пункце: ,
23*.Формулы Фрэнэ
24. Крывізна і кручэнне крывой
З фармальнага пункта гледжання крывізна k і кручэнне ᴂ каэф-ен ў правых частках формулы Франэ
K імгненная хуткасць датычнай прамой Т
ᴂ-гэта імгненная хуткасць вярчэння нармалі β
Будзе паказана, што і k і ᴂ два галоўных інварыянта, якія цалкам вызначаюць уласцівасці крывой. Будзе паказана, што яны вылічваюцца па ф-ле:
K(t)= ; ᴂ= у пункце Р(t) параметрызаванай крывой (γ,r)
Крывізна k і кручэнне ᴂ былі уведзены фармальна , як адпаведныя каэфіцыены у ф-лах Франэ: .
і .
Вынік:
1. Крывізна k - неадмоўная велічыня;
2. Кручэнне - можа прымаць як адмоўнае, так і дадатнае і нулявое кручэнне у пункце крывой: , , .
25**.Вылічэнне крывізны
26**.Вылічэнне кручэння
27.Крывізна і кручэнне акружнасці, графіка функцыі, шрубавай лініі
Вынік: Крывізна акружнасці радыуса R адваротна прапарцыйнаму яе радыусу, а кручэнне яго радыуса рощнае нулю.
Заўвага: Можна было таксама вылічыць k і ᴂ акружнасці, выкарыстоўваючы ф-лы k(t)= ; ᴂ=
Увёўшы сіс-му каардынат Оху у пл-ці акружнасці і параметрызаваўшы яе.
28.Крывая нулявой крывізны. Пункты спрамлення
Сцв. Крывая класа крывізны к, якая
Ёсць прамая ці яе частка.
Адваротнае таксама верна.
Доказ: Калі ρ=ρ(s), s∈J натуральная параметрызацыя крывой γ, для якой k≠0, маем:
Усе разважанні адбрасываюцца
Пункт гладкай крывой, у якім k=0 наз. Пунктам спрамлення, выспрасавання
Адпаведная т-ме прамая цалкам складаецца з пунктаў выпрасавання.
На іншых крывых пунктаў выпрасавання могуць распалагацца ізаліравана ці ўвогуле адсутнічаць. Напрыклад, акружнасць ці шрубавая лінія
Калі знайсці пункт выпрасавання гладкай крывой, дастаткова вырашыць раўнанне: k=0
,
адвольная параметрызацыя крывой k=
Крывая класа з’яўляецца бірэгулярнай калі і толькі калі, на ёй няма пунктаў спрамлення.