Контрольные вопросы
1. Нарисуйте и объясните схему электрического колебательного контура.
2. Выведите дифференциальное уравнение затухающих колебаний в контуре.
3. Напишите и объясните уравнение затухающих колебаний.
4. Как определить частоту затухающих колебаний в этой работе?
5. Как определить коэффициент затухания колебаний и от чего он зависит?
39
6. Как определить логарифмический декремент затухающих колебаний?
7. Как изменяется амплитуда затухающих колебаний во времени?
8. Что такое аппереодический процесс и условие его возникновения?
6. Изучение вынужденных электромагнитных колебаний (Лабораторная работа №2.15)
Цель работы: исследование резонансных кривых тока и напряжения в колебательном контуре, определение добротности контура.
Теоретическое введение
Вынужденные электромагнитные колебания наблюдаются в колебательном контуре (рис.6.1), содержащем индуктивность L , емкость C и активное сопротивление R при подключении его к источнику переменной ЭДС.
.
(6.1)
По
второму правилу Кирхгофа:
или
,
(6.2)
г
де
-
ЭДС самоиндукции в индуктивности.
С
учётом того, что I =
, и ξS
= - L
уравнение (6.2) принимает вид
, (6.3)
40
г
де
β = R/2L
– коэффициент затухания, ω0
= 1/√LC – частота
собственных колебаний
Уравнение (6.3) представляет собой стандартное дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. При установившихся колебаниях его решение можно представить в виде
.
(6.4)
Тогда:
То есть, левая часть уравнении (6/2) и (6/3) есть сумма колебаний трёх напряжений одинаковой частоты на элементах контура:
на L с амплитудой UL0 =ωLI0, (6.5)
опережающего ток на π/2;
на R с амплитудой UR0 =RI0 , (6.6)
синхронного с током;
на С с амплитудой UC0= I0/ωC, (6.7)
отстающего от тока на π/2.
Для их сложения применяют метод векторных диаграмм, наглядно преставляя напряжения векторами (рис.6.2), модули которых равны их амплитудам, а взаимное расположение определяется фазовым углом их сдвига относительно вектора тока (рис.6.2).
Из векторной диаграммы следует закон Ома для цепей переменного тока
, (6.8)
41
определяющий амплитуду тока в контуре, и формула. определяющая угол фазового сдвига между током и напряжением:
.
(6.9)
Знаменатель в (6.8) определяет полное
сопротивление (импеданс) цепи переменного
тока, который складывается из активного
R, индуктивного ωL
и емкостного 1/ωС сопротивлений. Из
(6.8) видно, что амплитуда тока в контуре
зависит не только от величин R,L,C
и вынуждающей ЭДС ξ, но и от её
циклической частоты ω.
Когда
т.е.
,
(6.10)
амплитуда тока достигает максимума I=ξ/R. Резкое возрастание тока в колебательном контуре при приближении вынуждающей частоты ω к ω0 называется явлением резонанса.
Резонансные кривые, т.е. зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей ЭДС Im(ω) при различных величинах R показаны на рис.6.3. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше β=R/2L.
42
Частота резонанса тока не зависит от величины R, а частота резонанса напряжения на конденсаторе
.
(6.11)
С увеличением β частота резонанса напряжения на конденсаторе уменьшается (рис.6.4).
Резонансные свойства контура характеризует добротность Q, которое показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе при резонансе может превышать приложенное напряжение, т.е
.
. (6.12)
При малом коэффициенте затухания ωрез ω0
.
(6.13)
Таким образом, добротность обратно пропорциональна активному сопротивлению контура и определяет остроту резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты ω1 и ω2 соответствуют току J = Jmax/√2.
43
Относительная ширина резонансной кривой равна величине обратной добротности контура, т. е.
.
(6.14)
Рис.6.5
44
5
U = Um1cos(1t + 1) + Um2cos(2t + 2) +…+ Umicos(it + i) +…+ Umncos(nt + n).
Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту i , можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Таким образом осуществляется, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны.