§ 3. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в кольцевом канале

3.3.1. Для ньютоновской жидкости, используя соотношение (3.2) в системе уравнений (2.24), получим простейшее уравнение состояния

Из сравнения с решением (3.4) следует уравнение относительно скорости

Решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее граничным условиям , имеет вид

(3.30)

где и — радиусы внутреннего и внешнего ци­линдров, ограничивающих кольцевой канал; ,

(3.31)

Нетрудно убедиться в том, что максимальная скорость жидкости будет при , а интегральные характеристики потока

(3.32)

где — параметр Рейнольдса для кольцевого канала.

Легко проверить, что при и поэтому .

Сравнивая полученные результаты с формулами (3.8), мо­жно сделать вывод, что кольцевой цилиндрический канал с отношением радиусов окружностей сечения

α > 0,3 и пло­ская щель с параметрами сечения 2h = R (1 - α) и b = πR (1+ α) эквивалентны между собой в отношении интегральных ги­дродинамических характеристик при ламинарном течении нью­тоновской жидкости, т. е. величин v_cp, Q, λ, ΔР. Одна­ко эти каналы имеют и существенное различие: переход от ламинарного режима течения к турбулентному в кольцевом канале наступает быстрее, чем в плоской щели, так как

Из формул (3.30) и (3.32) при вытекают известные формулы Хагена - Пуазейля, характеризующие течение жидкости в круглой трубе:

где — параметр Рейнольдса для трубы.

2. Для ньютоновской жидкости Шведова — Бингама, если учесть характер распределения скорости (3.30) в кольцевом зазоре и соотношения (3.2) в формулах (2.26) и (2.27), получим

где α₁R и α₂R — радиусы цилиндрических поверхностей, огра­ничивающих жесткое ядро потока (рис. 8). Используя также соотношения (3.2), из (2.24) получим следующее уравнение состояния:

Из сопоставления с решением (3.4) имеем следующее дифференциальное уравнение относительно скорости:

(3.33)

а также уравнения относительно параметров α₁ и α₂ (безразмерные радиуса ядра потока) и ω = с / R:

(3.34)

Интегрируя уравнение (3.33) при граничных условиях v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости

(3.35)

а из уравнений (3.34) следует, что

(3.36)

Если в последнем соотношении (3.36) принять α₁ = α и α₂ = 1, то получим условие отсутствия движения

Следовательно, течение неньютоновской жидкости Шведова — Бингама в кольцевом канале возможно при условии

Из условия сопряжения скорости при вытекает третье уравнение относительно искомых параметров

(3.37)

которое с помощью соотношений (3.36) сводится к трансцендент­ному уравнению относительно одного из параметров ω², α₁ или α₂, допускающему лишь численное решение.

Рис. 23. Характерный вид профиля скорости в кольцевом канале при течении неньютоновской жидкости Шведова-Бингама.

В табл. 1 приведены значения параметров α₁, α₂ и ω, полученные путем численного решения уравнений (3.36) и (3.37) на ЭВМ с точностью до 1%.

Таблица 1

ΔP0/ΔP	α
	0,45			0,55			0,65			0,75
	α1	α2	ω	α1	α2	ω	α1	α2	ω	α1	α2	ω
0,1	0,68	0,74	0,71	0,74	0,79	0,76	0,8	0,84	0,82	0,86	0,89	0,87
0,3	0,63	0,79	0,7	0,7	0,83	0,76	0,77	0,87	0,82	0,84	0,91	0,87
0,5	0,57	0,85	0,69	0,65	0,88	0,76	0,73	0,91	0,81	0,81	0,94	0,87
0,7	0,52	0,91	0,69	0,61	0,93	0,75	0,7	0,94	0,81	0,79	0,96	0,87
0,9	0,48	0,97	0,68	0,57	0,98	0,75	0,67	0,98	0,81	0,77	0,99	0,87

Видно, что параметр очень слабо зависит от отношения Максимальное различие между значениями ω при и 0,9 составляет: 3,5% — при α = 0,45; 2%— при α = 0,55; 1% — при α = 0,65. Следовательно, параметр ω можно с высокой точностью вычислить по той же формуле, что и в задаче течения ньютоновской жидкости (3.31), т. е.

Решая систему уравнений (3.36), найдем с точностью до первого порядка относительно

Из сравнения с табличными значениями α₁ и α₂ легко убедиться, что погрешность такого приближения не более 4% для α₁, и 2% для α₂.

После подстановки полученных таким образом соотношений для параметров α₁, α₂ и ω в (3.35), интегрирования по кольцевому сечению и пренебрежения слагаемыми, содержащими величину в 3-й и 4-й степенях, получим следующий результат:

(3.38)

или при α > 0,3,

где — обобщенный параметр Рейнольдса: — приведенная вязкость жидкости Шведова - Бингама и - параметр Сен-Венана для кольцевого канала: - то же, что в (3.32).

Надо подчеркнуть, что приближенное решение (3.38) практически не отличается от точного при выполнении условия <0,5 или

Расчеты показывают, что параметр , является практически постоянной величиной, диапазон его изменения составляет от 0,87 до 0,88 при 0,1< α <0,9.

Сравнивая формулы (3.15) и (3.38), можно сделать полезный вы­вод: при течении жидкости Шведова — Бингама имеет место гидрав­лическая эквивалентность кольцевого цилиндрического канала и плоской щели, если ; α >0,3; 2h = R(1- α ); b = πR(1+ α ) и где - соответственно предельные на­пряжения сдвига для жидкостей в щелевом и кольцевом каналах. Легко заметить, что последнее требование опускается, если принять =3/4, т.е. . Аналогично первой задаче и здесь отношение параметров Рейнольдса Rе к* и Rе_щ равно 2.

В предельном случае, когда — приведенный радиус жесткого ядра, из решений (3.35) и (3.38) следуют основные расчетные формулы для течения неньютоновской жидкости Шведова — Бингама в круглой трубе радиуса R:

(3.39)

(3.40)

, — обобщенный параметр Рейнольдса, — приведенная вязкость жидкости Шведова - Бингама и — параметр Сен-Венана для трубы. Эти формулы известны как упрощенные формулы Букингама.

3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последнем уравнении состояния (2.24) соотношения (3.2) и значение интенсивности скорости деформации сдвига [см. формулу (2.27)].

получим

(3.41)

где использованы те же обозначения, что и в предыдущих задачах.

Из сопоставления (3.41) и (3.4) приходим к дифференциаль­ному уравнению

где — некоторая характерная величина ско­рости.

Интегрируя последнее уравнение при граничных условиях v (α) = v (1) = 0, получим профиль скорости

(3.42)

Из условия сопряжения скорости при

(3.43)

определяется параметр ω.

В общем случае ( ) интегралы в формуле (3.42) и в уравнении (3.43) нельзя представить элементарными функциями, и поэтому вычисления следует выполнять с помощью численного интегрирования на ЭВМ. То же относится и к вычислению средней скорости потока

(3.44)

Численное решение уравнения (3.43) показывает, что параметр ω (безразмерная координата максимальной скорости) практически не зависит от реологической константы модели п и весьма точно может быть вычислен по формуле (3.31). Это иллюстрирует рис. 24, где показаны профили скорости для нескольких значений п, построенные по формулам (3.42) и (3.43) при α = 0,6.

Рис. 24. Профили скорости при α = 0,6 для степенной модели Освальда — Вейля:

1, 2, 3 - соответственно при n = 0,9; 0,7; 0,5.

С достаточной точностью рассчитать среднюю скорость можно по формуле

(3.45)

При этом коэффициент гидравлического сопротивления

где - обобщенный параметр Рейнольдса, — приведенная вязкость жидкости Освальда — Вейля для кольцевого канала. В предельном случае, когда , уравнение (3.43) не имеет смысла, а из зависимости (3.42) следует элементарная формула для распре­деления скорости в сечении круглой трубы

где

Поэтому основные интегральные характеристики потока жидкости в трубе принимают вид

где — обобщенный параметр Рейнольдса и — приведенная вязкость жидкости для трубы.

4. При турбулентном режиме течения, учитывая соотношения (3.1) и характер распределения профиля скорости [см., например, соотношение (3.41)], найдем по уравнениям Прандтля (2.20) связь напряжения Рейнольдса с усредненной по времени скоростью :

(3.46)

Если исходить из тех же упрощающих предположений Прандтля, что и в области основного турбулентного ядра напряжения , принять равными касательным напряжениям на стенках канала соответственно слева и справа от цилиндрической поверхности r = ωR, то, используя формулу (21) при r = αR и r = R, получим

(3.47)

где

Из сравнения соотношений (3.46) и (3.47) получим уравнение относительно скорости

где - характерная скорость. Интегрируя данное уравнение с учетом условия при и , получим закон распределения скорости в кольцевом канале

(3.48)

где — максимальная скорость потока:

(3.49)

содержит экспериментальные параметры — размеры пристенных слоев у внутренней и внешней стенок канала.

Из равенства (3.49) следует уравнение относительно парамет­ра ω

(3.50)

Для упрощения решения этого трансцендентного уравнения примем, что отношения размеров зон турбулентного ядра и пристенных слоев слева и справа от поверхности равны между собой, т. е.

(3.51)

Тогда из уравнения (3.50) получим

(3.52)

Путем интегрирования профиля скорости (3.48), пренебрегая пристенными слоями и используя равенство (3.52), легко найти среднюю скорость турбулентного потока

(3.53)

Согласно формуле (3.5) коэффициент сопротивления

Отсюда, учитывая формулы (3.49), (3.52) и (3.53), получим

Принимая по аналогии с задачей для гладких стенок: = 0,4; закон сопротивления для кольцевого канала запишем в виде

(3.54)

где - вязкость или приведенная вязкость жидкости.

Рис. 25. Зависимость коэффициента сопротивле­ния от параметра Рейнольдса (закон сопротивле­ния) при турбулентном режиме течения:

1, 2 – соответственно при α = 0,9 и α = 0.

Если α = 0, то а=1 и соотношение (3.54) выражает известный универсальный закон сопротивления Прандтля для гладких труб, который неоднократно был проверен опытами.

При α > 0,3 величина а изменяется в пределах от 0,54 до 0,45. Следовательно, для малых кольцевых зазоров ( ) закон сопротивления (3.54) принимает вид закона сопротивления для щели (3.28), где 2h = R( 1 - α).

Из рис. 25 следует вывод, что закон сопротивления при турбулентном режиме течения слабо зависит от α, т. е. от формы канала (круглая труба, кольцевое пространство или щель). В диапазоне чисел Рейнольдса кри­вые на рис. 25 можно аппроксимировать функцией , которую принято называть формулой Блазиуса.

Таблица 2.

S0/R	а
	0	0,3	0,5	0.7	0,9
0,001	0,016	0,018	0,02	0,023	0,032
0,005	0,025	0,027	0,031	0,037	0,056
0,01	0,03	0,034	0,038	0,047	0,077
0,025	0,041	0,046	0,054	0,069	—
0,05	0,053	0,062	0,073		—

Отсюда непосредственно находят коэффициент сопротивления по высоте элемента шероховатости s₀ стенки канала. Некоторые значения λ, вычисленные по этой формуле, приведены в табл. 2.

Полученные выше решения дают основание сделать следующий практический вывод: при гидравлических расчетах или обра­ботке опытных данных кольцевой канал скважины можно рас­сматривать как щель с параметрами 2h = R( 1 - α) и b =π R( 1 + α). При этом точность расчета будет зависеть в основном от точности значений реологических параметров жидко­сти и геометрических параметров кольцевого зазора.

Для расчета гидравлических потерь при турбулентном ре­жиме течения жидкости в затрубном пространстве открытой части ствола скважины необходимо воспользоваться формулой Дарси — Вейсбаха, в которой среднестатистическое значение коэффициента λ должно быть установлено по опытным данным в п типовых скважинах.