Утверждения

У ТВ ОЭ-1 О фактор-множестве. Пусть X  ObS. Тогда:

( - о. эквивалентности в X)  X   [ x ].

[x]  X_

Фактор-множество X_ образует разбиение м. X на классы эквивалентности

УТВ ОЭ-2 Об отношении равномощности

Отношение равномощности м. является о. эквивалентности в ObS

УТВ ОЭ-3 Свойства счетных множеств

3.1 Множество Z целых чисел счетно

3.2 Множество рациональных чисел Q счетно

3.3 Всякое подмножество счетного множества не более чем счетно

3 .4 Пусть   A  ObS; X_  ObS   A. Тогда:

( [X_]     A  [A]  )  [  X_ ]  

A

Конечное или счетное обьединение счетных множеств счетно

3.5 Пусть X  ObS. Тогда:

X - бесконечное м.   X^*  X  [ X^* ]  

В бесконечном множестве существует счетное подмножество

УТВ ОЭ-4 Свойства континуальных множеств

4.1 Пусть a,b  R  a  b. Тогда:

[ [0, 1] ]  [ [a,b] ]  [( a,b)]  [R]  [Rⁿ]  [ С[ a,b] ]  c

4.2 Пусть [N]    [[0,1]]  с. Тогда с  

Мощность континуума строго больше счетной мощности

УТВ ОЭ-5 О сравнении мощностей Пусть ObS - система всех множеств.

Тогда : ( [ X ]  [ Y ] :  X равномощно Y* Y)   ObS,   - ЛУМ

Все множества сравнимы по мощности

УТВ ОЭ-6 Гипотеза континуума

 X  ObS: [ X ]    c  [ X ]

Не существует множеств мощности больше счетной , но меньше континуальной

УТВ ОЭ-7 Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств

Пусть X  ObS. Тогда:

X)  {X*X*  X}  [X)]  [X]

Мощность множества всех подмножеств м . X строго больше мощности X

УТВ ОЭ-8 Теорема о квадрате. Если Х – бесконечное м., то [X²] = [X].

Умения

УМ ОЭ-1 Дано  - отношение эквивалентности в X. Построить фактор-множество X_:

1.1 Изобразить ( визуализировать ) фактор-множество, используя любые способы визуализации множества X (или X² )

1.2 Выделить класс эквивалентности [x_о ] , содержащий фиксированный элемент x_о  X.

УМ ОЭ-2 Пусть X  ObS. Определить мощность [ X ].

Примеры

ПР ОЭ-1 Пусть X  R ²; x₁, y₁  x₂, y₂ :  x₁²  y₁²  x₂²  y₂²; x₀ = <0,1>.

Построить фактор-множество X_.

y

Класс эквивалентности

[x₁, y₁ ] = {x₂, y₂ : x₂²  y₂² = r² = x₁²  y₁² ) } - окружность.

Фактор-множество является множеством концентрических окружностей с центром в нуле  = <0,0>:

X_ = {[x₁, y₁ ]: x₁, y₁  R ² }.

x

1

[<0,1>]

ПР ОЭ-2. Пусть X  (0, 1). Определить мощность [ X ].

Решение. (0,1)  [0,1]  [ 0.4 , 0.5 ]  (0,1) =( [[a,b ]]  c a,b Rab) [(0,1)]  c  c  [(0,1)] =(антисимметричность  по мощности м.) [(0,1)]  c 