- •Каждое из уравнений (5) и (6) аналогично дифференциальному уравнению для гармонического колебания (см. Лаб. Раб. № 1-5-1) .
- •Описание установки
- •Измерения и обработка результатов
- •Определение частоты колебаний 1 и 2 мод
- •Определение частоты колебаний и биений связанных маятников
- •Вынужденные колебания
- •Контрольные вопросы
1-5-4 КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
Цель работы: изучение основных закономерностей колебаний систем с несколькими степенями свободы на примере двух связанных маятников.
В природе и технике широко распространены колебательные системы, взаимодействующие между собой. К таким системам относятся ионы в кристаллической решетке, сложные молекулы, различные технические конструкции.
Простейшей системой с двумя степенями свободы в механике являются два маятника в виде стержня длиной l с грузами m (диск) на его концах.
М аятники связаны невесомой пружиной с коэффициентом жесткости k. Пружина находится на расстоянии d от точек подвеса, расположенных на горизонтальной прямой (рис.1).
При движении маятников в одной вертикальной плоскости состояние такой системы полностью описывается двумя независимыми параметрами углами 1 и 2 отклонения маятников от вертикали, т.е. система имеет две степени свободы.
Уравнение движения для каждого маятника можно получить из общего уравнения динамики вращательного движения стержня с грузом вокруг неподвижной оси:
. (1)
Здесь угол поворота, M момент действующих на тело сил относительно оси подвеса, угловое ускорение, I момент инерции каждого маятника относительно оси подвеса.
На каждый маятник действует сила тяжести mg, приложенная к центру масс, и сила упругости f=-kx, k коэффициент жесткости пружины. Величина деформации x при малых 1 и 2 и в соответствии с рис.1 найдется как длина дуги, опирающаяся на прямые d; x = d(2 1), а сила f = kd(2 1).
Соответствующие этим силам вращающие моменты сил для малых углов колебаний имеют вид :
Mтяж = mglSin mgl, (2)
Mупр1 = kd(2 1)d = kd2(2 1) = Mупр2 .
Момент сил отрицателен, если он возвращает маятник в положение равновесия. Уравнение (1) для каждого из маятников запишется:
(3)
Маятники могут длительное время колебаться сохраняя, например, положение, изображенное на рис.1. В этом случае fупр=kd(21) или так, как показано на рис.2 fупр = kd(2+1).
П оэтому введем новые переменные
1 + 2 = 1 и 2 1 = 2, (4)
характеризующие относительное движение маятников. Суммируем левые и правые части уравнений (3), поделим сумму на I и используем новые переменные. Это нам даст:
(5)
А если в (3) вычтем из второго уравнения первое, то получим :
(6)
Каждое из уравнений (5) и (6) аналогично дифференциальному уравнению для гармонического колебания (см. Лаб. Раб. № 1-5-1) .
Собственные частоты колебаний равны:
; (7)
Момент инерции маятника складывается из момента инерции стержня массой m и длиной l0(Iст = mстl02/3), момента инерции диска радиусом R и массой m, удаленного на расстояние l от оси подвеса (Iд = mдl2+ mдR2/2, теорема Штейнера).
I = mстl02/3 + mдl2 + mдR2/2, (8)
Решения уравнений (5) и (6), как известно, имеют вид:
1 = АCos(o1t + 1), 2 = BCos(o2t + 2 (9)
где A и B амплитуды изменения 1 и 2 , а 1 и 2 начальные фазы соответственно.
Из (9) и (4) находим закон изменения угла для каждого маятника:
1 = 1/2(1 2) = A/2Cos(o1t + 1) B/2Cos(o2t + 2) (10)
2 = 1/2(1 + 2)= A/2Cos(o1t + 1) + B/2Cos(o2t + 2)
Из (10) видно, что колебания каждого маятника складываются из двух независимых колебаний с частотами o1 и o2, определяемых выражениями (7), которые носят название нормальных частот или мод, при этом, как видно из (7), o2 > o1. Если обратиться к уравнениям (7) ,то в первом из них выражена собственная частота свободных незатухающих колебаний физического маятника . Когда упругая связь не действует, т. е. 2 1 = 0, маятники движутся синхронно в одном направлении параллельно друг другу (синфазно).
Во втором уравнении частота o2 > o1 за счет действия упругой связи, которая будет максимальна, если маятники движутся точно в противофазе: навстречу друг другу или друг от друга (рис. 2).
При любом другом движении осуществляются колебания с частотой k, лежащей в диапазоне от o1 до o2. Если вклад сил упругости в изменение частоты невелик, т.е. 2kd2/I < mgl/I, то частоты o1 и o2 близки, и результат сложения колебаний представляется в виде биений. При этом амплитуда медленно изменяется с частотой биений:
б = o2 o1 или б = 2 1, (11)
т.к. = 2.
Если с помощью внешней периодической силы, частота которой будет возрастать от нуля, действовать на связанную колебательную систему, то при частотах вынуждающей силы , близких к 1 и 2 будет наблюдаться два резонанса, т.е. резкое увеличение амплитуды колебаний маятников. Зависимость A= f() будет иметь два максимума.
Описание установки
Общий вид прибора представлен на рис.3.
Основание 1 оснащено регулируемыми ножками для вертикальной установки прибора. В основании закреплена колонка 2, на которой укреплены втулка 3 и кронштейн 4. На стержне 5 втулки находятся три подвески 6 с шариковыми подшипниками. К ним подвешены два маятника и стержень 7, возбуждающий колебания.
Маятник состоит из стержня 8 и перемещающегося груза 9. Маятники связаны друг с другом при помощи двух пружин 10, 11, закрепленных в С-образной скобе, которую можно перемещать вдоль стержней маятников.
Возбуждение колебаний осуществляется с помощью приводного диска, закрепленного на валу электродвигателя, который перемещая стержень 7, связанный при помощи двух пружин 10, 11 со стержнем маятника 6, возбуждает его колебания.
Электродвигатель находится в блоке управления и измерений 12. К нижнему кронштейну прикреплена угловая шкала 13, при помощи которой определяется амплитуда колебаний маятников. К нему также прикреплен фотоэлектрический датчик 14, световой поток которого пересекает стержень одного из совершающих колебания маятников.