Градиентометрия

1. Значение силы тяжести = . Можно измерять приращение силы тяжести на определённом пути, значит можно измерять производные силы тяжести на определённом интервале.

Это нужно для того чтобы вычислить силу тяжести в любой точки зная значение силы тяжести в точке и расстояние до точки P – l. Тогда сила тяжести в точке P:

- фундаментальное уравнение. В соответствии с ним – градиент силы тяжести можно найти в любой точки. Очевидно, что можно кроме силы тяжести ещё измеряется её градиент . Вопрос измерения градиента силы тяжести и является предметом темы.

Известно, что сила тяжести имеет составляющие по осям координат. Сила тяжести связана с потенциалом силы тяжести Земли. Поскольку потенциал это функция, производные которой по направлениям равна силе, можно переписать

; .

Это можно представить в виде производных по осям

.

Очевидно, что т.е. градиент силы тяжести по оси x равны вторым производным потенциала силы тяжести

– оператор второй производной силы тяжести .

– оператор Набла -

Предмет градиентометрии – определение вторых производных потенциала силы тяжести и применение их 1) для вычисления силы тяжести в произвольной точки Земли, 2) для определения самого потенциала силы тяжести Земли, 3) для навигации.

Вычисление силы тяжести в произвольной точке Земли. В том случае, когда известно значение в точке известно можно определить силу тяжести в точке .

2

3 4

Если точка в пространстве между осей (точка 4), то необходимо вычислить значение в точке :

2. Потенциалом земли выражают функции,которые являются аналогом разложения функции в ряд кие Фурье. Из математики известно,что любую функцию можно разложить в ряд Фурье.Так как земля является круглым телом в трехмерном пространстве то обозначается из одномерногопространства в трехмерное,такое разложение называется разложением по шаровым функциям.В общих чертах млжно записать решения гравиметрического поля земли в виде

U(r,Q,λ)=

M=fM ,где f-гравитационная постоянная

M -масса Земли

r ₀ – экваторный радиус земли

r,Q,λ –геоцентрические координаты текущей точки

В самом выражении неизвестными являются коэффициенты Cim Sim,для их определения используются вторые производные потенциала (g). Для прстоты запишем потенциал гравитационного поля.

U=f(Cim Sim)

Неизвестными величинами являются Cim Sim.

Пусть изестны их приближенные значения Cim⁰ Sim^0.

По вторым производным потенциала (g) необходимо определить поправки с тем найти Cim=Cim⁰-ϭlim

Sim=Sim⁰-ϭlim

Очевидно,что для решения задачи необходимо найти вторые производные даннной функции U, по координатам r,λ,Q, приравнять их к измеренным значениям двух производных и вычислить ϭCim и ϭSim.При этом число уравний должно быть равным чмслу неизвестных.

Из вычислений:

Пусть задана функция U

U=f(Cim, Sim, r,λ,Q),ттогда производную можно обозначить

U_zz=f”_zz U_λz=f” _λz U_Qz=f” _Qz

U_zλ=f” _zλ U_λλ=f” _λλ U_Qλ =f” _Qλ

U_zQ=f” _zQ U_Qλ=f” _Qλ U_QQ =f”_QQ

f”_zz f” _λz f” _Qz

f” _zλ f” _λλ f” _Qλ

f” _zQ f” _Qλ f”_QQ

Очевидно,что матрица является производной,здесь

f”_ij= f”_ij

Значения производных вычисляются при заданных значения производных

Cim⁰ Sim⁰

Получим значение f_ij⁰ .С учетом этого осуществляется разложение каждой призводной в ряд Тейлора

я решения задачи в левой части вместо f”_ij ставят измеренное значение второго производного сил тяжести

Где lw= f”_ij⁰-w”_ij

f”_ij⁰ –вычисленное значение второй производной потенциалов по приближенным значениям коэффициента C⁰km,Skm

w”_ij-измеренное значение второй производной потенциала земли или примерное значение градиента (g)

Обычно число уравнений больше числа неизвестных,тогда их решают по методу наименьших квадратов

Φ= _in

Из решения наименьших квадратов находят поправки ΔCkn, ΔSkn и вычисляют значения

Ckm=Cm+ΔCkm

Skm=S⁰+ΔSkm

И получают уточненное значение для потенциала гравитационного поля земли.

3. Практика определения вторых производных потенциалов силы тяжести земли или градиентов силы тяжести.

В настоящее время вторые производные потенциалы силы тяжести определяют следующие методы:

1)Метод наземной градиентометрии в котором при помощи градиентонометра измеряют градиенты ускорения силы тяжести гравитационного поля земли. Основной проблемой таких определений является точность учета измерений градиентов силы тяжести на больших растояниях определения точки.

2)Метод самолетной градиентометрии. В данном методе основной сложностью является выделение ускорений сили тяжести от изменения ускорений на борту самолета.

3)Спутниковая градиентометрия-здесь основной проблемой является повышение точности измерения.Это вызвано тем, что спутники находятся на большом растоянии от земли, где сложно почувствовать разность силы тяжести. Эти методы являются относительными методами, так как измеряем разность воздействия силы тяжести на пробные массы на пробные массы расположенные по соответствующим осям. По каждой оси распологаем по две массы (градиентонометра). Для вычисления разности силы тяжести используется два паралельно летящих спутника. Такая система называется спутник-спутник. В спутниковой градиентометрии различают два метода:

1)Диференциальный по использованию градиентометра, так как растояние между массами принебрежено мало по сравнению с растаянием до земли.

2)Разностный­­-применяемый в системе «спутник-спутник». Расстояние между спутниками сотни км, что зрительно повышает точность силы тяжести.

Расмотрим коротко каждый из методов. Первые два метода построены на двух принципах.

1)Инерциальная гравиметрия.

2)Гравитационная гравиметрия.

В инерциальной используется аксилерометр поступательного типа. По каждой из осей X,Y,Z размещаем три аксилерометра, где М пробная масса.Порядок работы состоит в следующем:

1)Прогрев измерительного блока до рабочей температуры.

2)Ориентировка в течении одного часа платформы относительно отвесной линии и направлении на север

3)Движение по трассе на определяемую точку. Ускорение измеряют через 20 м/сек, за одно измеряются скорость путем интегрирования в течении 10 сек.

a= , dv=adt

4)Привязка к точкам стояния на первом исходном пункте. На контрольном (исходном) пункте должны быть измерены координаты точки уклонения отвесной линии и должна быть известна сила тяжести.

5)Дальнейшее иследование по маршруту по определенной точке.

6)Привязка к исходному пункту на конце маршрута

7)Обратный ход с конца маршрута в начальный пункт.

В гравитационной градиентометрии по каждой расположено по два аксилерометра.

По такой схеме определяются градиенты силы тяжести по осям X,Y,Z,Wxx,Wyy,Wzz.

Для того что бы определить смешанные вторые производные потенциала силы тяжести …….. или элементы вторых производных аксилерометра следует распологать не вдоль осей, а поперек.

Пример: Wx2 – аксилерометр расположен перпендикулярно оси Z.

И ногда в гравитационной градиентометрии используется гравитационный вариометр. Сам вариометр подвешен на нитке, которая еле чувствительная к вращению и под действием изменений силы тяжести нить вращается на определенный угол величина угла соответственно W.