8.1. Понятие критериев согласия.

В математической статистике определены показатели, по которым можно судить о степени расхождения теоретических и эмпирических частот. Эти показатели называются критериями согласия. С помощью этих критериев согласия проверяется гипотеза о законе распределения.

Критерии согласия основаны на использовании различных мер рассеяний между анализируемым эмпирическим распределением и функцией распределения признака в генеральной совокупности.

Наиболее распространёнными являются следующие критерии согласия:

- критерий согласия Пирсона (хи=квадрат ).

- критерий А.Н. Колмогорова.

- критерий В.И. Романовского.

8.2. Критерий согласия Пирсона (хи=квадрат ).

Критерий представляется в виде:

.

Уровень значимости выбирается таким образом, что вероятность , величина принимается равной 0,05 или 0,01.

При этом возникают варианты:

1) , т.е. попадает в критическую область, что означает, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенные и не объясняются случайными колебаниями выборочных данных. В таком случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному отвергается.

2) . Т.е. рассчитанный критерий не превышает максимально возможную величину расхождений эмпирических и теоретических частот, которая может возникнуть в силу случайных колебаний выборочных данных. В этом случае гипотеза о близости эмпирического распределения и нормальному не отвергается.

Число степеней свободы определяется из соотношения .

Где - число условий, которые предполагаются выполненными при вычислении теоретических частот, - число групп.

При вычислении теоретических частот нормального распределения в качестве оценки генеральной средней и дисперсии используются соответствующие выборочные характеристики, то для проверки гипотезы о нормальности распределения число степеней свободы равно (k-3).

При расчете критерия Пирсона нужно соблюдать следующие условия:

- число наблюдений должно быть достаточно большим, более 50;

- если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то такие интервалы объединяют так, чтобы были более 5.

8.3 Критерий Романовского

_{Применяется в тех случаях, когда отсутствуют таблицы для оценки расхождения теоретических и эмпирических частот.}

_{Определяется по формуле}

_{Если численное отношение меньше 3, то расхождения считаются случайными, если больше 3, то они существенны.}

8.4 Критерий Колмогорова

_{Основан на определении максимального расхождения между накопленными частостями или частотами эмпирического и теоретического распределений по формуле}

_{где максимальная величина расхождений между накопленными частостями;}

_{число наблюдений, или сумма всех частот.}

_{Если пользоваться не накопленными частостями, а частотами (абсолютными показателями), то формула примет вид}

_{где максимальная разность между накопленными частотами;}

_{число наблюдений, или сумма всех частот.}

_{Пример решения задач}

_{Имеется распределение 200 проб нити по крепости (таблица 34).}

_{Таблица 34 – Исходные данные}

Крепость нити, г	Число проб	Середина интервала
120-130	1
130-140	8
140-150	27
150-160	58
160-170	56
170-180	34
180-190	14
190-200	2
Итого	200	-	-	-	-	200

_{Необходимо выравнять ряд по кривой нормального распределения (т.е. рассчитать теоретические частоты) и оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев согласия: Пирсона, Романовского, Колмогорова.}

_{Решение}

_{Для нахождения теоретических частот используем формулу}

_или

_{где - нормированные отклонения от средней.}

_{1) рассчитаем ;}

_{2) находим отклонения отдельных вариантов от средней ;}

_{3) находим нормированные отклонения ;}

_{4) зная (по таблице Приложения 1), находим ;}

_{5) рассчитаем постоянный множитель ;}

_{6) умножая 154 на и округляя результаты до целых чисел, находим теоретические частоты.}

_{Для сужения о случайности или существенности этих расхождений используем критерии согласия:}

_{7) критерий Пирсона .}

_{Расчет критерия в таблице 35.}

_{Таблица 35 – Расчет критерия Пирсона}

1	1
8	8
27	28
58	55
56	59
34	35
14	12
2	2
200	200

_{Число степеней свободы (при выравнивании по критерий нормального распределения) . Примем наиболее часто используемый уровень значимости и обратимся к таблице Приложения 4. По таблице значений критерия Пирсона для степеней свободы и уровня значимости определяем, что .}

_{Так как , то можно считать случайными расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и выдвинутая гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не опровергается.}

_{8) критерий Романовского:}

_{Так как 1,4<3, то можно считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными.}

_{9) критерий Колмогорова: .}

_{Запишем накопленные частоты эмпирического и теоретического распределения и найдем максимальный разрыв между ними (таблица 36).}

_{Таблица 36 – Расчетная таблица}

		Накопленные частоты
		Эмпирические,	Теоретические,
1	1	1	1	0
8	8	9	9	0
27	28	36	37	1
58	55	94	92	2
56	59	150	151	1
34	35	184	186	2
14	12	198	198	0
2	2	200	200	0

_{Максимальный разрыв , поэтому . По таблицам (Приложение 6) находим для , которое . Можно считать, что расхождения между и носят случайный характер.}