7. Операторный подход

Выходной сигнал любой системы можно рассматривать как результат действия некоторого оператора:

На рассматриваемые операторы накладывается 2 ограничения:

1. Причинность, т.е. не может зависеть от при .

2. Ограниченность.

где – ИПФ. Для оценки нужно рассмотреть норму.

Нормы сигналов

Сигнал измерим на интервале . Определим три основные нормы:

1. :

2. – пространство ограниченных функций:

3. :

Нормы операторов

1. 

2. , т.е. ;

Для дискретных объектов и систем будем обозначать соответствующие пространства:

1. :

2. :

3. :

Нормы передаточных функций

Рассмотрим матрицу размера , элементы которой – это аналитические выражения комплексной переменной в правой полуплоскости (т.е. ). Все полюса устойчивой системы находятся в левой полуплоскости. Тогда:

– спектральная норма матрицы :

где – комплексно сопряжённая матрица. Выражение под корнем – это максимальное сингулярное число. В силу того, что функция аналитическая, максимальное значение достигается на границе (на мнимой оси).

Если – скалярная передаточная функция, то

– амплитудно-частотная характеристика.

Для устойчивых систем выполняется

показывает, во сколько раз может измениться энергия сигнала при прохождении через систему.

Если – скаляр, то

Вычислим вторую норму и норму-бесконечность передаточных функций непрерывной и дискретной моделей. Воспользуемся функцией Matlab:

• norm(H,2)

ans =

0.1759

• norm(H,inf)

ans =

1.4142

• norm(Hd,2)

ans =

0.2478

• norm(Hd,inf)

ans =

1.4142

Ранее говорилось, что норма-бесконечность показывает, во сколько раз может измениться сигнал при прохождении через систему. Полученные результаты говорят о том, что сигнал на выходе рассматриваемой системы может отличаться в 1,5 раза от сигнала на входе.