[Ред.]Побудова довірчих границь і інтервалівтором

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики  , по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка  ). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина  , що залежить від статистики ξ і невідомого параметра a така, що:

1. закон розподілу відомий і не залежить від a;

2.  є неперервною та монотонною по .

Виберемо діапазон для   інтервал (f₁,f₂) так, щоб влучення в нього було практично вірогідно:   для чого досить у якості   взяти квантилі розподілу   рівня (1- РД )/2 і (1+ РД )/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв’язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що   монотонно зростає по a):  . Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a, і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал (g(ξ, f₁), g(ξ,f₂)) є довірчим для a з рівнем довіри РД . Якщо   спадає по a, інтервалом є (g(ξ, f₂),g(ξ, f₁) ). Для побудови однобічної границі для a виберемо значення f1,f2 так, щоб   чи  де Q(P) - квантиль рівня P. Після розв’язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.

Рисунок - Довірчі межі та довірчі ймовірності.

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95. Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.

[Ред.]Рівень довіри

Рівень довіри РД означає, що правило визначення інтервалу дає вірний результат з імовірністю РД, що звичайно вибирається близькою до 1, однак, 1 не дорівнює. Переконаємося статистично на прикладі в тім, що довірчий інтервал з рівнем довіри РД може не містити (з малою імовірністю 1- РД ) істинне значення параметру.

• Приклад. Розглянемо наведений випадковий інтервал I(x1, ..., xn), що при будь-якім значенні а накриває це значення з великою імовірністю РД:

Р{ I(x1,...,xn) є a } = РД , і тому, якщо знехтувати можливістю здійснення події  , що має малу імовірність (1- РД), можна вважати подія   є практично достовірною, тобто можна вірити тому, що обчислений за конкретними спостереженнями x1,...,xn інтервал I містить невідоме значення параметра а. Проведемо випробування інтервалу на 50 вибірках обсягу n=10 для трьох рівнів довіри РД : 0.9 , 0.99 , 0.999 (відповідно, три значення fp) . При РД = 0.9 число невірних з k =50 результатів виявиться в околиці 5, тому що середнє число невірних k(1- РД) = 5. При РД =0.99 поява хоча б одна невірного з k =50 досить ймовірна: імовірність цієї події  . При РД =0.999 поява хоча б одна невірного є сумнівною: імовірність цієї події  .

13. Важливість задачі визначення закону розподілу.

1. Біноміальний закон розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою   m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:

2. Закон розподілу Пуассона

Дискретна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона набуває зліченної множини значень   з імовірно- стями   Цей розподіл описує кількість подій, які настають в однакові проміжки часу за умови, що ці події відбуваються незалежно одна від одної зі сталою інтенсивністю. Розподіл застосовується в задачах статистичного контролю якості, у теорії надійності, теорії масового обслуговування. Математичне сподівання і дисперсія в цьому розподілі однакові і дорівнюють а. Для цього розподілу складено таблиці щодо різних значень   (0,1—20). У таблицях для відповідних значень а наведено ймовірності 

Якщо у схемі незалежних повторних випробувань n велике і р або 1 – р прямують до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли 

3. Геометричний розподіл

Закон подається формулою: 

Геометричний закон розподілу має частоту настання події у схемі незалежних повторних випробувань, якщо вони проводяться до першого настання події. У формулі р — імовірність настання події в кожному випробуванні. Геометричний закон розпо- ділу застосовується у задачах статистичного контролю якості  і теорії надійності. Числові характеристики розподілу:   

4. Гіпергеометричний розподіл

Гіпергеометричний розподіл описує ймовірність настання m успішних результатів у n випробуваннях, якщо значення n мале порівняно з обсягом сукупності N:

Hаприклад, імовірність того, що з n деталей, які випадково вибрано з партії обсягом N, m виявляться дефектними, має гіпергеометричний закон розподілу (k — кількість дефектних деталей у партії). Цей закон розподілу застосовується в задачах статистич- ного контролю якості та в суміжних галузях. Числові характеристики розподілу:

Зі зменшенням відношення   гіпергеометричний розподіл наближається до біноміального з параметрами n i   Дуже часто гіпергеометричний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, якщо 

5. Рівномірний закон розподілу

Якщо ймовірність потрапляння випадкової величини на інтервал пропорційна до довжини інтервалу і не залежить від розташування інтервалу на осі, то вона має рівномірний закон розподілу.

Щільність рівномірного закону розподілу має вид:

.

Функція розподілу рівномірного закону розподілу має вид:

.

Математичне сподівання та дисперсія рівномірного закону розподілу дорівнюють

Рівномірний закон розподілу легко моделювати. За допомогою функціональних перетворень із величин, розподілених рівномірно, можна діставати величини з довільним законом розподілу. Графіки щільності ймовірності і функції розподілу наведено на рис. 3 і 4.

 

Рис. 3                                                Рис. 4

6. Показниковий закон розподілу

Щільність розподілу випадкової величини, розподіленої за показниковим законом, задається формулою:

Функція розподілу показникового закону розподілу задається формулою:

Математичне сподівання та дисперсія величини Х, розподіленої за показниковим законом розподілу можна знайти за формулами:

.

Графік показникового розподілу зображено на рис. 5, а, б.

 

Рис. 5

7. Нормальний закон розподілу

 

Нормальний закон розподілу задається щільністю     Параметри  , які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини Х має вигляд

Графіки функцій розподілу і щільності ймовірності наведено відповідно на рис. 6 і 7.

 

Рис. 6                                             Рис. 7

Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці. Головна особливість нормального закону полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу за типових умов.

Для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої нормально, на проміжок використовується функ- ція Лапласа:

Часто застосовується також формула:

14. Моментний метод.

Методика проведения ММН, обработка и анализ данных Метод моментных наблюдений (ММН) является выборочным методом наблюдения при проведении ФРВ. Метод моментных наблюдений позволяет охватить исследованием 50-100 человек. Сущность ММН заключается в получении сведений о составе и величине затрат рабочего времени путем проведения серии внезапных, коротких и нерегулярных наблюдений, в установлении количества повторения отдельных видов затрат рабочего времени (работ или простоя) и определения на основе этих данных удельного веса каждого вида затрат труда.При моментных наблюдениях непрерывная регистрация отдельных элементов затрат рабочего времени заменяется статистической выборкой. Выборочная совокупность зарегистрированных элементов затрат времени достаточна велика, чтобы характеризовать генеральную совокупность.Количество моментов наблюдений зависит от допустимой точности и доли интересуемых затрат рабочего времени (потерь) в его общем балансе:

,                        (6.11)

где К – коэффициент, зависящий от заданной вероятности; К=2 для стабильного производственного процесса (массовое и серийное производство); К=3 для нестабильного производственного процесса (мелкосерийное и единичное производство);У – удельный вес исследуемой категории затрат рабочего времени в общих затратах за время наблюдений, в долях единицы;О – допустимая величина относительной ошибки результатов наблюдений (от 3 до 10%).Точность результатов наблюдений с относительной ошибкой  5-10% обеспечивает вероятность получения заданного результата с точностью в пределах 0,92-0.95.

Подготовка к наблюдению включает выбор его элементов, составление маршрута, графика и времени наблюдения, разработку форм документов, используемых для наблюдения.

Маршрут обхода должен обеспечивать поочередную возможность наблюдения всех наблюдаемых рабочих или оборудования. Для каждого наблюдаемого объекта устанавливаются фиксажные пункты для регистрации наблюдений.Рассчитывается количество моментов и обходов:

П=М/ч,         где М – количество моментов, ч – количество наблюдаемых рабочих.

Устанавливается продолжительность времени обхода на основании контрольного обхода. Определяется время начало обходов по таблице случайных чисел. Разность между началами двух обходов должна быть больше продолжительности одного обхода. Составляется график обходов, подготавливается наблюдательный лист.

Проведение моментных наблюдений заключается в фиксации принятыми условными знаками (точками и линиями) в наблюдательном листе моментов затрат рабочего времени по видам, совершаемой на рабочих местах работы или перерывов.Правила наблюдения:

1. Каждый обход должен начинаться в точно назначенное время.

2. Обход осуществляется равномерным шагом по заранее намеченному маршруту.

3. Регистрация происходящего производится только в фиксажных точках.

4. Должен выполняться весь объем наблюдений, обходы доводиться до конца. В случае прерывания обхода следующий обход начинается с первого места.

15. Графічні методи. Побудова гістограм та полігонів