2. Типовые ступенчатые и импульсные воздействия. Временные характеристики систем и звеньев.

При эксплуатации на системы и их отдельные элементы (звенья) действуют различные внешние воздействия. Наиболее часто изучают реакцию систем и звеньев на типовые воздействия, являющиеся математическими моделями наиболее часто встречающихся реальных воздействий.

В качестве типовых используют следующие воздействия.

1. Ступенчатое воздействие:

0 при t  0;

x(t)=

1(t)а при t  0 , (2.9.1)

где 1(t)  единичное ступенчатое воздействие; а - величина ступенчатого воздействия.

2. Импульсное воздействие (дельта-функция):

 при t = 0;

x(t) = (t) =

0 при t  0. (2.9.2)

При этом, согласно определению:

. (2.9.3)

Дельта-функция связана с единичным ступенчатым воздействием:

(t) = 1^I(t). (2.9.4)

3. Гармоническое воздействие :

x(t) = А_хsint, (2.9.5)

где А_х  амплитуда;   угловая частота.

Иногда используют и другие типовые воздействия.

Временные характеристики

Реакция системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях называется переходной функцией. Переходная функция обычно обозначается h(t).

Если ступенчатое входное воздействие неединичное 1(t)а, то ординаты переходной функции увеличиваются в а раз, что следует из принципа суперпозиции для линейных систем и звеньев.

Реакция системы (звена) на импульсное воздействие ( - функцию) при нулевых начальных условиях называется импульсной переходной функцией или функцией веса.

Функция веса обычно обозначается W(t).

Переходные функции и функции веса получают путем решения дифференциальных уравнений, описывающих системы (звенья) при ступенчатых и импульсных воздействиях, по их передаточным функциям и путем моделирования на ЭВМ. Они могут быть получены также экспериментально (импульсную переходную функцию получают как реакцию на короткий импульс).

Возможный вид переходных и импульсных переходных функций приведен на рис. 2.9.1 и 2.9.2.

Рис. 2.9.1 Возможный вид переходных функций

Рис. 2.9.2 Возможный вид импульсных переходных функций

Из (2.9.4) следует связь между переходной и импульсной переходной функциями:

W(t) = h'(t); (2.9.6)

. (2.9.7)

Учитывая, что изображение Лапласа L[(t)]=1, следует взаимосвязь между импульсной переходной функцией, переходной функцией и передаточной функцией системы или звена:

L[w(t)]=w(p); (2.9.8)

w (t)=L^-1[w(p)]; (2.9.9)

(2.9.10)

(2.9.11)

где L  прямое преобразование Лапласа; L^-1  обратное преобразование Лапласа.

Если на линейную систему (звено) подать гармоническое воздействие х(t)= =А_хsint, то после окончания переходного процесса на выходе звена установятся гармонические колебания у(t) = A_уsin(t +), где А_у  амплитуда,   разность фаз между входным воздействием и выходной величиной (рис. 2.9.3).

Свойства линейных систем (звеньев) таковы, что частоты входных и выходных сигналов одинаковы. Амплитуда выходного сигнала при постоянной амплитуде входного сигнала и разность фаз между входным и выходным сигналами зависит только от частоты.