§3.2. Нормальное распределение

Плотность нормального распределения.

Одним из наиболее распространенных законов распределения непрерывной случайной величины является так называемый нормальный закон распределения. Этому закону подчиняются, например, распределение массы выловленной рыбы данного вида, распределение роста мужчин (женщин), дальность полета снаряда при стрельбе из орудия и многие другие.

Нормальным законом распределения вероятностей (или просто нормальным распределением) называется закон распределения непрерывной случайной величины, заданный плотностью распределения вида:

, (3.5)

где числа a и s называются параметрами нормального распределения.

Они имеют вполне определенный смысл: а есть среднее значение случайной величины, имеющей нормальное распределение,  – стандартное отклонение этой случайной величины.

Непрерывная случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, называется нормальной.

Функция распределения нормальной случайной величины может быть найдена по формуле (3.4) с использованием (3.5). Возникающий при этом интеграл не берется в элементарных функциях, и поэтому его значение обычно вычисляется на компьютере.

Функция (3.5) имеет максимум при х=а. Это означает, что возможные значения нормальной случайной величины группируются около ее среднего значения.

График нормального распределения (3.5) называется нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 3.1). Параметры нормального распределения определяют форму нормальной кривой: при постоянном а и увеличении s кривая растягивается вдоль оси Ох и при уменьшении s кривая вытягивается вдоль оси Оу.

Рис. 3.1. График плотности нормального распределения (3.1) при a=2 и s₁=0,1, s₂=0,2, s₃=0,3.

Стандартное нормальное распределение.

Нормальная случайная величина называется нормированной (или стандартной), если значения параметров ее распределения a=0 и s=1

Плотность распределения нормированной случайной величины, подчиняющейся нормальному закону, называется стандартной плотностью нормального распределения и принимает вид:

. (3.6)

Функция распределения нормированной нормальной случайной величины называется стандартной функцией нормального распределения и вычисляется по формуле

. (3.7)

Эта функция не выражается через известные элементарные функции и ее значения могут быть найдены в специальных таблицах или вычислены на компьютере (например, в Excel).

Отметим некоторые свойства стандартной функцией нормального распределения (3.7):

1. F(0)=1/2;

2. F(x)0 при х;

3. F(x)1 при х+.

На практике обычно при х>5 силу свойства (3) полагают F(х)»1.

Вычисление функции и плотности нормального распределения в Excel.

В Excel среди статистических функций имеется функция НОРМРАСП, которая позволяет вычислять как плотность нормального распределения f(x) по формуле (3.5), так и интегральную функцию распределения F(x) по формуле (3.4), где f(x) задано (3.5). Данная функция имеет следующие параметры: НОРМРАСП(х; а; ; тип), где х – значение переменной, для которой следует вычислить функцию; а – среднее значение нормального распределения;  – стандартное отклонение этого распределения; тип – это логическое значение, определяющее тип функции распределения: тип принимает значения истина или ложь. Если указать в качестве этого параметра истина, то будет вычислена интегральная функция F(x) нормального распределения, а если – ложь, то плотность распределения f(x).

Во многих приложениях статистики необходимо для заданной вероятности  найти аргумент функции распределения х, т.е. вычислить функцию F^[-1](), обратную к F(x). Для этого в Excel имеется функция НОРМОБР(; а; ), где  – вероятность нормального распределения, для которой следует найти значение переменной х; а – среднее значение этого распределения;  – его стандартное отклонение.

Для вычисления стандартной функции нормального распределения (3.7) в Excel имеется функция НОРМСТРАСП(х), где х – значение случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение. Естественно, что результат вычисления этой функции совпадает с результатом вычисления функции НОРМРАСП(х; 0; 1; истина).

Найти аргумент х стандартной функции нормального распределения по известной вероятности  можно с помощью функции НОРМСТОБР().