§9. Теорема Чебышева
Решение задачи Чебышева:
Определить:
минимизирующий многочлен Pn(x,A), если он существует.
Теорема: Такой многочлен сущестует и совпадает с решением системы
т.е. Pn(x,A)=Pn(x,A*).
Доказательство
Не ограничивая общности будем считать,
что
Если это не так, рассмотрим функцию -f(х) в системе все уравнения умножим на (-1), тогда решением будет многочлен –Pn(x,A*).
Перепишем систему следующим образом:
.
Воспользуемся свойствами чисел αk:
При этом:
.
Однако μ>h, т.к. иначе получим h<h. Значит, μ=h. И для всякого k максимум разницы между Pn(x) и f(x) не может быть меньше.
Далее нетрудно доказать, что многочлены Pn(x,A*) и Pn(x,A0) равны.
Что и требовалось доказать.
Замечание Можно рассмотреть
континуальный аналог задачи Чебышева.
Необходимо найти для
и минимизирующий многочлен Pn(x,A0),
если он существует.
Этот многочлен есть решение дискретной задачи при некотором наборе узлов.
§10. Многочлены Чебышева
Постановка задачи:
Для многочленов Pn(x,A)
степени n co
старшим коэффициентом, равным 1, требуется
определить для
и минимизирующий многочлен Pn(x,Amin),
если это возможно.
Таким образом, рассматривается задача о многочленах со старшим коэффициентом, равным 1, наименее отклоняющихся от нуля.
Рассмотрим многочлены Чебышева:
Теорема Tn(x) – многочлены степени n со старшим коэффициентом, равным 1, методом математической индукции.
Доказательство
При n=1:
-
многочлен 1ой степени.
При n=2:
Пусть утверждение верно
.
Докажем для n = k.
Заметим,
что Tk-1(x)
– многочлен степени k-1
по предположению, Tk-2(x)
– многочлен степени (k-2).
Таким образом, Tk(x)
– многочлен степени k со
старшим коэффициентом, равным 1.
Что и требовалось доказать.
Теорема (свойство четности) Все многочлены T2n(x) являются четными функциями, а T2n+1(x) – нечетными.
Доказательство
При n = 0: T0=1 – четная функция; T1=x – нечетная.
Пусть утверждение верно . Докажем его справедливость для n = k.
Заметим, что из предположения T2k-1 – нечетная функция, T2k-2 – четная.
Тогда
-
четная функция,
а
-
нечетная.
Что и требовалось доказать.
Нули многочленов Чебышева
Заметим, что:
.
Обозначим
.
Тогда
.
Т.к.
.
-
нули многочлена Чебышева Tn(x)
на [-1;1].
П
ри
этом других нулей нет (т.к. многочлен
nой степени имеет не более
n нулей).
Экстремумы.
Рассмотрим локальные экстремумы Тn(x) на [-1;1].
Т.к.
то точками экстремума для Тn(х)
на [-1;1] будут точки, где
Следовательно, cos(n·arccosx) = ±1
n·arccosx
= πk,
Обозначим
где
Отсюда,
.
Т.к. .
-
экстреальные точки для Tn(x)
на [-1;1].
Ортогональность с весом
Функции f(x)
и g(x)
ортогональны на [a;b]
с весом ρ(x), если
(ортогональность в смысле Гильбертова
пространства L2
[a;b]).
Доказательство
Обозначим
Что и требовалось доказать.
Лемма
Tn(x) – многочлены со старшим коэффициентом равным еденице, наименее отклоняющиеся от нуля на [-1;1]. Т.е. если Pn(x) – многочлен степени n со старшим коэффициентом равным единице, то:
Доказательство
Предположим противное:
.
Обозначим как Qn(x) = Tn(x)-Pn(x).
Заметим, что многочлен Qn(x):
1)имеет (n-1) степень
2
)
,
т.к. из предположения .
Таким образом, получено, что между
каждыми двумя точками
многочлен Qn(x)
меняет свой знак. Т.е. многочлен Qn(x),
отличный от нуля (т.к. он ≠0 в точках
)
имеет n нулей, а значит
Qn(x)≡0.
Противоречие доказывает требуемое.