- •Конспект лекций Численные методы
- •1. Точные и приближенные методы решения линейных уравнений
- •2 Алгоритм отделения корней методом последовательного перебора
- •3.Алгоритмы уточнения корня
- •О точности полученных приближений (x2, , xcp) можно судить по невязке:
- •Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений
- •Численное интегрирование
- •6 Численное дифференцирование
- •6.2. Метод Рунге-Кутта
- •7. Решение задач интерполяции и экстраполяции.
3.Алгоритмы уточнения корня
Алгоритм уточнения корня методом половинного деления
Сущность метода. Пусть каким-либо методом найден отрезок изоляции корня [а; b] уравнения F(х) = 0, где F(х) - непрерывна на участке [a; b], (а)*F(b) < 0. В дальнейшем требуется сузить этот отрезок так, чтобы его длина стала не больше заранее заданной точности вычисления корня , то есть чтобы |b - a| .
Этот процесс сужения интервала, содержащего изолированный корень уравнения F(х) = 0, называется уточнением корня.
В этом алгоритме отрезок изоляции корня [а; b] точкой с = делят пополам и вычисляют значение F(c). Если F(c) = 0, то с - значение искомого корня уравнения, и задача решена. Если F(c) 0, то искомый корень уравнения содержится в одном из двух отрезков [a; c] или [c; b], на концах которого функция F принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок через [a1, b1], его длина b1-a1 = . С отрезком [a1, b1] поступают точно так, как и с отрезком [a, b]. Этот процесс последовательного деления отрезка пополам продолжают до тех пор, пока не произойдет одно из двух:
либо найдется такая точка cn = , в которой F(cn) = 0 (что маловероятно!), и задача решена;
либо такой точки не найдется, но при некотором n придем к отрезку [an, bn] длины bn - an = , содержащему в себе искомый корень.
Тогда числа an и bn являются приближенными значениями искомого корня с требуемой точностью соответственно с недостатком и с избытком. Однако лучше за приближенное значение искомого корня взять число сn = , погрешность которого не превышает .
Алгоритм уточнения корня методом хорд
Сущность метода. Пусть отрезок изоляции [a; b] корня х уравнения F(х) = 0 найден, причем для определенности пусть F(a) < 0, F(b) > 0 и F'(х) > 0. График функции y = F(х) проходит через точки A(a; F(a)) и B(b; F(b)) (рис. 1). Составим уравнение хорды АВ как прямой, проходящей через точки А и В:
y = kx + l;
F(a) = ka + l;
F(b) = kb + l;
k = ; l = F(a) - a
y=
y - F(a) = (x - a).
Рисунок 1 – Графическое представление метода хорд
далее находим абсциссу x1 точки пересечения хорды АВ с осью Ох, уравнение которой y = 0:
= x1 - a x1 = a - .
Число x1 примем за первое приближение корня х*. Далее, применяя этот же прием к отрезку изоляции [x1; b], на концах которого функция F(x) принимает противоположные знаки, получим второе приближение корня x2:
x2 = x1 -
Этот процесс можно продолжать неограниченно. Описанный процесс называется методом хорд. В результате получим последовательность вложенных отрезков[a; b] [x1; b] [x2; b] ... [xn; b] ...с неподвижным концом b. Последовательные приближения xn (n = 1, 2, ...) к точному значению корня х* вычисляются по формуле
(3)
называемой формулой метода хорд, и образуют монотонно возрастающую последовательность a = x0 < x1 < x2 < ... < xn < xn+1 < ... < b, ограниченную сверху числом b. По теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел
xn = *.
Поскольку F(х) непрерывна на [а; b], то F(xn) = F( *).
Переходя теперь к пределу в равенстве (3), получаем
* = * -
откуда, так как b - , следует, что F( ) = 0. Но в связи с тем, что уравнение F(x) = 0 на отрезке [а; b] имеет единственный корень х*, то х* = х*.
Поскольку полученная последовательность (х„) сходится к корню уравнения х*, то любой ее член можно рассматривать в качестве приближенного значения корня. Практически последовательные приближения вычисляют до тех пор, пока не получат приближенное значение корня с требуемой точностью.
Алгоритм уточнения корня методом касательных
Сущность метода. Пусть [а; b] — отрезок изоляции корня х* уравнения F(х) = 0. И пусть для определенности F(a)<0, F(b)>0, F‘(x)>0 и F”(x)>0, x[а; b], то есть производные сохраняют постоянный знак (рис.2). Идея метода касательных, предложенного Ньютоном, сводится к замене небольшой дуги
Рисунок 2 – Графическое представление метода касательных
кривой у = F(х) касательной к кривой, проведенной в некоторой точке интервала [а; b]. Выберем, например, x0 = b, так как F(x0) F(x0)>0, и в точке В(x0, F(х0)) проведем касательную к кривой у = F(х). Ее уравнение:
y - F(x0) = F(x0)(x - x0).'
Найдем теперь точку пересечения x1 касательной с осью Ох (у = 0):
0 - F(x0) = F(x0)(x1 - x0) x1 = x0 -
Эту точку x1 принимаем за первое приближение искомого корня х*. Через точку С(x1; F(x1)) снова проведем касательную y - F(x1) = F‘(x1)(x - x1), абсциссу точки пересечения которой с осью Ох примем за второе приближение х2 корня х*. Имеем:
0 - F(x1) = F‘(x1)(x2 - x1) x2 = x1 -
Продолжая этот процесс далее, получим рекуррентную формулу,
(8)
называемую формулой метода касательных.
Заметим, что если в рассматриваемом случае (F’(x) > О, F”(x) > О, F(b) > 0, F(а) < 0) касательную провести в точке А, то есть положить x0 = а, то точка пересечения ее с осью абсцисс может оказаться вне отрезка изоляции корня [a; b]. Это значит, что метод касательных неприменим, если в качестве начальной точки x0 выбрать такую, в которой F(x0) F”(x0) < 0.
Как и в методе хорд, можно доказать (предлагаем читателю сделать это самостоятельно), что полученная числовая последовательность
x0>x1>x2>...>xn>xn+1>...>a
сходится к корню уравнения х*.
Для оценки погрешности приближения xn можно воспользоваться, как и в методе хорд, формулой
x* - xn xn - xn-1 .
Анализируя возможные расположения кривой у = F(х) на отрезке изоляции, где последовательные приближения по методу касательных обозначены (i = 0,1,2...), получаем правило для использования метода касательных: в качестве начального приближения x0 выбирается тот конец отрезка изоляции (x0 = а или x0 = b), в котором выполняется условие
F(x0) F(x0) > 0 (9)
Пример 9. Методом касательных найти корень уравнения
F(x) =
на отрезке [1; 2] с точностью до = 10-5.
Находим: F‘(x) = - F(x) = .
Применив формулу (8), имеем:
(n = 0, 1, 2, ...).
Выберем начальное приближение x0, используя условие (9). Имеем:
F(1) = < 0;
F(2) = > 0;
F(1) = > 0;
F(2) = >0.
Поскольку F(2)F”(2) > 0, то касательную следует проводить в правом конце отрезка, то есть x0 = b = 2.
Последовательные приближения вычисляем на ЭВМ, заполняя табл. 7.
|
Xn |
F(xn)= |
F‘(xn)= |
|
xn – xn-1 |
|
(2) - (5) |
|
e-(2)+2(2) |
|
|
0 |
2,0 |
2,135335 |
3,864665 |
0,552528 |
|
1 |
1,5 |
0,473130 |
2,776870 |
0,170382 |
0,5 |
2 |
1.38 |
0,033377 |
2,395523 |
0,013933 |
0,17 |
3 |
1,316 |
0,000062 |
2,363794 |
0,000026 |
0,014 |
4 |
1,8159738 |
0.0000005 |
2,3637346 |
0,0000002 |
0,0000262 |
5 |
1,3159736 |
- 0,0000005 |
2,3637342 |
-0,0000002 |
0,0000002 |
Если в качестве приближенного значения корня взять число 1,3159736, то невязка F(1,3159737) = - 0,0000003.
Комбинированный метод хорд и касательных
Сущность метода. Рассмотренные выше метод хорд и метод касательных (каждый в отдельности) позволяют приблизиться к корню уравнения лишь с одной стороны: либо слева (приближение с недостатком), либо справа (приближение с избытком), причем всегда, если формула хорд дает приближение корня с недостатком, то формула касательных — с избытком, и наоборот. Одновременное применение этих двух методов на каждом шаге дает возможность искомый корень уравнения взять в вилку и не выпускать его из нее до достижения заданной точности.
Рисунок 3 – Иллюстрация метода хорд и касательных
Пусть (рис.3) условие F( )F«( ) > 0 выполняется в правом конце отрезка изоляции корня ( = b). Тогда последовательные значения с недостатком х0 = а, x1, x2, ... , xn, xn+1, ... вычисляют методом хорд:
xn+1 = xn - x0 = a(n = 0, 1, 2, ...), (10)
а последовательные значения корня с избытком
= b,
вычисляют методом касательных (8):
(11)
По формулам (10) и (11) вычисляют приближенные значения корня соответственно с недостатком и с избытком, причем для всех n xn < х* < хn.
Если при некотором n выполняется неравенство 0 < то в качестве приближенного значения искомого корня с точностью принимают среднее арифметическое значение полученных двусторонних приближений, то есть так как тогда x* < .
Если условие выполняется в левом конце отрезка изоляции корня, тогда
(12)
x0 = b (n = 0,1,2,...), (13)
то есть формула касательных дает приближение корня с недостатком, а формула хорд—с избытком.
Обращаем внимание читателя на следующее обстоятельство. Если в формулах (3) и (7) метода хорд (его иногда называют стационарным методом хорд) один конец отрезка изоляции корня в процессе вычислений все время оставался неподвижным, то в формулах (10) и (13) комбинированного метода хорд и касательных оба конца отрезка изоляции корня являются подвижными. На каждом шаге вычислений в качестве неподвижного конца формулы метода хорд используется приближенное значение искомого корня, вычисленное по формуле метода касательных (рис. 22).
Пример. Комбинированным методом хорд и касательных найти корень уравнения
F(х) = Зх - cos х - 1 = 0 на отрезке [0; 1] с точностью = 10-4
Так как F(х) непрерывная функция, a F’(x) = 3 +sin х > 0, х R; F(0) = -2 < 0 и F(1) = 2 - cos1 > 0, то на отрезке [0; 1] имеется единственный корень уравнения. Вторая производная
F”(x) = cos х > 0, х [0; 1].
Условие F(х)•F”(x) > 0 выполняется в точке х = 1, то есть F(1)•F(2) > 0. Следовательно, уточнение корня выполняем по формулам:
Вычисления на ЭВМ оформляем в табл. 8, в которую введены промежуточные графы, облегчающие вычисление значений функции и производной.
Таблица 8 Расчетная таблица метода хорд и касательных
|
Xn |
|
|
F(xn) |
|
|
|
xn - F(xn) |
n |
(9):(8) |
(3) –(6): (7) |
(3) - (2) |
3*(2) - соs(2) – 1 |
3*(3) – cos(3) - 1 |
3 + sin(3) |
(6) - (5) |
(6)*(2)- (5)*(3) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
1 |
1 |
-2 |
1,459697 |
3,841471 |
3,459697 |
2 |
1 |
0,5780853 |
0,6200162 |
0,0419309 |
-0,1032551 |
0,0461796 |
3,581048 |
0,1494401 |
0,0907188 |
2 |
0,6070577 |
0,6071207 |
0,0000630 |
xср=0.5 ( - x2) = 0,607089 |