Розв’язання

Дискретна передаточна функція зведеної безперервної частини

.

Складемо розрахункову структурну схему системи (рис. 5.2, 6), згідно з якою запишемо дискретну передаточну функцію замкненої системи.

Дискретні передаточні функції цифрового регулятора Wр(z) та зведеної неперервної частини Wзн(z) матимуть вигляд

, (5.8)

(5.9)

Дискретна передаточна функція розімкнутої системи

. (5.10)

Дискретна передаточна функція замкнутої системи

. (5.11)

При запишемо z-зображення керованої величини системи

. (5.12)

Скориставшись методом невизначених коефіцієнтів, вираз (5.12) можна записати так

.

Для знаходження решітчастої функції, що відповідає доданку , який має комплексні корені, скористаємось тим, що

, (5.13)

. (5.14)

Тоді цей доданок спробуємо представити у вигляді

. (5.15)

На підставі (5.15) отримаємо

,

,

,

,

.

Отже, вираз (5.15) можна представити у вигляді

.

Тоді, згідно з таблицею зворотного z-перетворення записуємо аналітичний вираз для кривої перехідного процесу

. (5.16)

Приклад програми в MathCad

1. Дискретна передаточна функція приведеної безперервної частини

Дискретна передаточна функція регулятора

2. Дискретна передаточна функція замкненої системи

3. Знаходимо z-зображення вихідної величини

Знаходимо решітчасту функцію та будуємо графік перехідного процесу в замкнутій системі

За дискретною передаточною функцією замкненої системи визначаємо різницеве рівняння та будуємо графік перехідного процесу в системі при поданні на вхід одиничної ступінчастої дії

Графік перехідного процесу матиме наступний вигляд

За теоремою про кінцеве значення решітчастої функції визначимо усталене значення вихідної величини системи

4. Виконаємо дослідження стійкості замкнутої системи за коренями характеристичного рівняння.

Зобразимо ці корені на комплексній площині, відобразивши також на ній межу стійкості у вигляді кола одиничного радіусу

Як видно з графіку, корені характеристичного рівняння замкнутої системи знаходяться в межах одиничного кола, тобто система є стійкою.

Відстань від центру координат до кореня дорівнює

6. Виконаємо перехід до w-площини і виконаємо дослідження стійкості.

Як видно з графіку, корені розташовані в лівій напівплощині, отже, система є стійкою.