- •“Диференціальне числення функції багатьох змінних”
- •Означення функції багатьох змінних
- •Способи задання функції
- •Неперервність функції двох змінних
- •Диференційовність функції двох змінних
- •Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків
- •Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині
Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині
Як випливає з теореми (про проміжне значення), функція неперервна на замкнутій обмеженій множині D , досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Ці значення вона може приймати як у внутрішніх точках множини D (кожна така точка є точкою екстремуму функції, в цій точці перші частинні похідні дорівнюють нулю або не існують), так і на її межі, тобто необхідно спеціальне дослідження межових точок множини D .
Приклад: Знайти найбільше та найменше значення функції
z = х3 + y2 – 3xy в області, обмеженій прямими х = -1, х = 2, у = -1, у = 3-х
• 1. Дослідимо поводження функції всередині області KLMP.
Знайдемо перші частинні похідні функції z = х3 + y2 – 3xy :
Прирівнюючи їх нулю , одержимо стаціонарні точки О(0;0) та Е(l;l).
2. Дослідимо поводження функції на межі області. Відрізок KL має рівняння у = -1,
Підставивши у = -1 у задану функцію,одержимо
Треба знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку [- 1; 2].
Маємо
значить функція зростає і тому досягає найбільшого значення на кінцях відрізку, тобто в точках
Відрізок LM має рівняння х = 2, -1≤ y≤ 1 . Підставивши х = 2 у задану функцію, одержимо
Маємо на відрізку [-1;1]
Значить функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках
Відрізок РМ має рівняння
Підставивши
у задану функцію, одержимо тобто
Маємо
звідки z' = 0 при х = . Значить,на відрізку РМ функція може досягти найбільшого та найменшого значень у точках
Відрізок КР має рівняння
Підставивши у задану функцію, одержимо z=-1 + y3 +3y
Маємо
значить, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках
Таким чином, функція може досягти найбільшого та
найменшого значень тільки в наступних точках:
Знаходимо
Отже, zmin=-5, і це значення досягається в точці
zmax=75, і це значення досягається у точці
Зауваження : Теорема (про проміжне значення )
Нехай функція f(x;y) неперервна на зв’язній множині D і у двох точках А та В цієї множини приймає нерівні значення f(A)та f(B) . Тоді на цій множині вона приймає будь-яке значення μ, яке лежить між f(A)та f(B), тобто існує така точка с єD , що f(c)= μ.
Література:
1. П. П. Овчинников , Ф. П. Яремчук Вища математика
Київ “Техніка” 2003.
2. К. Г. Валєєв, І, А. Джалладова , О. І. Лютий Вища математика
Київ 1999.
3. В. М. Лейфура, Г. І. Городницький Математика
Київ “Техніка” 2003.
4. В. С. Шипачев Основы высшей математики
Москва “Высшая школа ”.