- •Основные понятия и определения
- •Метод эйлера
- •Ошибка метода Эйлера
- •Метод Хьюна
- •Методы Рунге-КуттЫ.
- •Явные одношаговые методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования
- •Метод рунге-кутта четвертого порядка точности с автоматическим контролем шага
- •Метод рунге-кутта-мерсона с контролем шага
- •Метод фельдберга с контролем шага
- •Метод ингленда с контролем шага
- •Многошаговые методы численного интегрирования дифференциальных уравнений
- •Методы Адамса-Башфорта
- •Методы Адамса-Моултона
- •Методы прогноза-коррекции
Основные понятия и определения
Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ДУ) называют уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Общая форма записи ДУ:
|
(1.1) |
Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.
Решением ДУ называется любая функция , которая при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в тождество.
Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ.
Каждое ДУ имеет бесконечное множество решений, для нахождения частного решения требуется указать начальные условия. Если эти условия задаются при одном значении независимой переменной , то задача отыскания решения уравнения (1.1) называется задачей Коши.
Уравнение называется разрешенным относительно старшей производной, если его можно записать в виде:
|
(1.2) |
Достаточно сложно в большинстве практических случаев отыскать аналитическое решение ДУ, выход – использование численных методов. Все численные методы разработаны для одного ДУ 1-го порядка, но легко распространяются на систему ДУ 1-го порядка. Конкретная прикладная задача может приводить к ДУ любого порядка, или к СДУ любого порядка, но известно, что обыкновенное ДУ -го порядка (1.2) можно свести к эквивалентной системе уравнений 1-го порядка при помощи замены :
|
(1.3) |
Любой одношаговый метод имеет вид для некоторой функции , называемой функцией приращений, т. е. для получения решения в точке достаточно знать только его значение в точке . Поэтому, величину шага интегрирования можно менять в процессе решения.
Метод эйлера
Метод Эйлера хорошо демонстрирует подходы, используемые для разработки более точных и сложных методов. Его использование ограничено большой ошибкой численного решения, которая накапливается в процессе его применения. Тем не менее, он важен для изучения, т. к. анализ ошибки легче для понимания.
Зададим интервал , на котором необходимо получить решение уравнения с начальным условием . Разобьем отрезок на конечное число частей введением узловых точек , для простоты изложения и анализа будем предполагать, что узловые точки делят отрезок на равные части. Тогда , где и . Предположим, что функция имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на , и применим разложение в ряд Тейлора.
|
(2.1) |
где точка лежит между и .
После подстановки , и результирующее выражение примет вид:
|
(2.2) |
Предположим, что вторая производная ограничена на отрезке интегрирования и шаг h достаточно мал, тогда в выражении (2.2) можно пренебречь вторым членом ряда Тейлора, получив выражение:
|
(2.3) |
Полагаем , тогда
|
(2.4) |
Повторение процесса дает последовательность точек, которые аппроксимируют интегральную кривую . Запишем общую формулу для шага, называемую формулой Эйлера:
, где |
(2.3) |
Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке отрезком касательной, проведенной к графику решения в точке , т.е. вместо значения функции в точке получаем ординату касательной, проведенной к графику функции в точке (см. рис. 1).
Рис. 1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера