4.3 Метод наименьших квадратов

Для того, чтобы провести прямую линию оптимальным образом используют метод наименьших квадратов.

Рисунок 4.3 — Иллюстрация

метода наименьших квадратов

Пусть в результате n измерений для заданных значений первичных параметров x получены значения выходного параметра y (рисунок 4.3).

Лучшей линией будет та, для которой расхождение с экспериментальными данными минимально:

, (4.1)

где n — число экспериментальных точек; y_эi — экспериментальное значение y в i-ой точке; y_тi — теоретическое значение y в i-ой точке.

Для получения y_тi в точке, соответствующей значению x_i, надо x_i подставить в уравнение регрессии. Можно использовать критерий вида (4.1) или один из следующих критериев:

, (4.2)

,   0,   1. (4.3)

Практически установлено, что оптимальным является критерий вида (4.3) при  = 2.

4.4 Основные виды математических моделей выходного

параметра

Линейная функция

Будем считать, что в процессе эксперимента наблюдались значения параметра х и фиксировали соответствующие значения параметра у. В итоге получено две совокупности значений:

где п — число экспериментальных точек.

Подберем функцию, которая лучшим образом приближается к экспериментальным точкам, и которую назовем приближающей. Ее найдем в виде

, (4.4)

где а, b — коэффициенты линейной функции.

Найдем линейную функцию, которая с точки зрения метода наименьших квадратов описывает поведение параметра у в зависимости от параметра х.

Согласно [7], такой является функция, коэффициенты а и b которой подсчитаны по формулам

, . (4.5)

При решении практических задач обычно стремятся функцию, сглаживающую результаты эксперимента, привести к линейному виду и воспользоваться формулами (4.5).

Показательная функция

Предположим, что лучшей с точки зрения метода наименьших квадратов, является функция вида

. (4.6)

Прологарифмировав равенство (4.6), получим

Введем обозначения Получим

(4.7)

Уравнение (4.7) есть уравнение прямой линии. Ее коэффициенты а и В могут быть подсчитаны по формулам (4.5), используя в качестве значений у_i значения ln y_i (i = 1, ..., n) Совокупность x_i (i = 1, ..., п) используется без изменения.

В результате применения формул (4.5) коэффициент а определится сразу, а коэффициент b определится, как

.

Степенная функция

Приближающую функцию будем искать в виде

. (4.8)

Предположим, что все значения х_i и у_i (i = 1, ..., п) положительны. Прологарифмировав равенство (4.8) при условии b > 0, получим

. (4.9)

Обозначим тогда равенство (4.9) примет вид

то есть задача свелась к отысканию параметров а и В, линейной функции по выражениям (4.5). Однако, в данном случае в качестве значений х_i; и у_i, необходимо использовать значения lnх_i и lny_i, (i = 1, ..., n).

Значение коэффициента а функции (4.8) будет получено сразу, а значение коэффициента b — c помощью выражения

.

Логарифмическая функция

В этом случае приближающую функцию находим в виде

. (4.10)

Можно заметить, что для перехода к линейной функции достаточно сделать замену

.

Для расчета коэффициентов а и b по формулам (4.5) необходимо в качестве значений х_i использовать значения lnx_i (i = l, ..., n). Значения у_i, (i = 1, ..., п) используются без изменения. В результате расчета значения коэффициентов a и b функции (4.10) будут получены сразу.

Дробно-линейная функция

Приближающая функция имеет вид

. (4.11)

Перепишем равенство (4.11) следующим образом:

Из него видно, что для нахождения неизвестных коэффициентов функции (4.11) можно воспользоваться формулами (4.5), но в качестве значений у_i необходимо взять значения 1/у_i, (i = 1, ..., п). Коэффициенты функции (4.11) в этом случае будут определены сразу.

Гипербола

Если график, построенный по точкам с использованием значений х_i и у_i (i = 1, ..., п) напоминает ветвь гиперболы, то приближающую функцию можно искать в виде

. (4.12)

Для перехода к линейной функции сделаем подстановку X = 1/х. Тогда

у = аХ + b.

Поэтому перед использованием формул (4.5) необходимо значения х_i, преобразовать в значения 1/х_i (1, ...., п). После чего по формулам (4.5) коэффициенты a и b будут получены сразу.