Сложные ставки ссудных процентов
Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а капитализируется, то для определения наращенной суммы применяются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты достаточно широко применяются на практике.
Чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.
Формула для расчета сложных процентов имеет вид:
,
где S – наращенная сумма; P – величина первоначальной денежной суммы; n – продолжительность периода начисления в годах; i – ставка сложных ссудных процентов; n – количество лет.
Если срок ссуды не является целым числом, то формула для расчет наращенной суммы определяется:
,
где nа – целое число лет; nb – оставшаяся дробная часть года.
В случае если уровень сложных процентных ставок различается на разных интервалах начисления, то в конце всего периода начисления наращенная сумма будет определяться:
,
где n1, n2,…,nN – продолжительность интервалов начисления в годах; i1, i2,...,iN – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.
Если все интервалы начисления одинаковы (как обычно бывает на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, то наращенная сумма будет определяться:
Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году, в этом случае оговаривается номинальная ставка процентов (j), то есть годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке (j), величина номинальной процентной ставки, применяемой на каждом интервале начисления определяется .
Если срок ссуды составляет n лет, то наращенная сумма будет определяться:
,
где j – номинальная ставка сложных ссудных процентов; mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться:
,
где l – часть интервала начисления.
Пример 1
Первоначальная сумма долга равна 50.000.000 рублей. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 20% годовых.
Решение:
1 способ начисления.
2 способ начисления.
Пример 2
Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за 5 лет? Определить также для случая начисления процентов по полугодиям.
1.
2. Для случая начисления процентов по полугодиям
Сложные учетные ставки
При антисипативном способе начисления сложных процентов (проценты начисляются в начале каждого интервала), формула наращенной суммы имеет вид:
,
где S – сумма, которая должна быть возвращена; P – сумма получаемая заемщиком; d – величина сложной учетной ставки; n – количество лет.
Для периода начисления, не являющегося целым числом, наращенная сумма будет определяться:
,
где – na – целое число лет; nb – оставшаяся дробная часть года.
При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма определяется:
,
где n1, n2,…,nN – продолжительность интервалов начисления в годах; d1, d2,...,dN – годовые учетные ставки, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.
Если проценты начисляются m раз в году, наращенная сумма определяется:
,
где f – номинальная годовая учетная ставка; mn – общее количество интервалов начисления.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться:
,
где mn – целое число интервалов начисления за весь период начисления; l – часть интервала начисления.
Пример
Определить современное значение суммы в 100.000.000 рублей, которая будет выплачена через 2 года при использовании учетной ставки 20% годовых.
Решение