3.3 Плотность распределения системы двух случайных величин

Закон распределения системы двух случайных дискретных величин может быть задан либо в виде графика, либо в виде таблицы с двумя входами, либо функцией распределения.

Для задания закона распределения системы двух случайных непрерывных величин на практике пользуются не функцией распределения, а плотностью распределения, так как она более удобна при вычислениях.

Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения имеет всюду непрерывную частную производную.

Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) f(x, y) системы двух случайных величин (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения:

.

Иначе говоря, плотность распределения системы двух случайных величин (X, Y) представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба размера его стремятся к нулю (рис. 3.5).

.

Рисунок 3.5 Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник

Геометрически функция f(x, y) представляет собой некоторую поверхность. Зная функцию f(x, y), можно найти интегральную функцию распределения, которая будет равна

.

Вероятность попадания случайной точки в заданную область.

Пусть имеется система случайных величин (X, Y), причем известна ее плотность распределения f(x, y). Требуется найти вероятность попадания случайной точки в заданную область D (рис.3.6).

Рисунок 3.6 Вероятность попадания случайной точки в заданную область D (а); поверхность распределения f(x, y) (б)

Для расчета вероятности попадания случайной точки (x, y) в

область D введем понятие «элемент вероятности». Элемент вероятности

системы случайных величин (X,Y) есть вероятность попадания случайной точки (x, y) в элементарный прямоугольник со сторонами dx и dy. Тогда вероятность попадания случайной точки (x, y) в область D (рис. 3.6а) можно определить по формуле

.

Плотность распределения системы двух случайных величин обладает следующими свойствами:

а) плотность распределения f(x, y) есть функция неотрицательная

,

б) двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от плотности распределения системы двух случайных величин равен единице, т.е.

.

Геометрически первое свойство означает, что поверхность распределения располагается выше плоскости x0y, а второе – что, объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью x0y, равен единице (рис.3.6б).

3.4 Законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему

Пусть имеется система случайных величин (X, Y), причем известна ее функция распределения F(X, Y) или плотность распределения f(x, y). Требуется найти законы распределения случайных величин X, Y, входящих в систему, т.е. определить выражения для функций .

Согласно второму свойству функции распределения случайных величин X, Y равны . Поэтому для получения функции распределения одной случайной величины, входящей в систему необходимо в функцию распределения системы вместо другой случайной величины подставить « ». Для отыскания выражения плотности распределения, например, случайной величины X воспользуемся определением ее, т.е.

, или окончательно

. По аналогии .

Следовательно, для получения плотности распределения одной случайной величины, входящей в систему, необходимо плотность распределения системы f(x, y) проинтегрировать в бесконечных пределах по другой случайной величине как переменной.

Пример 1. Дана система случайных величин (X, Y) с плотностью распределения для всех точек внутри треугольника (рис. 3.7а), вне треугольника f(x, y)=0. Требуется определить .

Рисунок 3.7 Иллюстрация к примеру

Решение.

Используя полученное выражение для плотности распределения случайной величины X, получим . Аналогично находим выражение для плотности распределения случайной величины Y (см. рис. 3.7б).