1.15. Вероятность суммы событий

Известно, что вероятность суммы несовместных событий определяется аксиомой А3: Р(А+В)= Р(А)+ Р(В).

Теорема 1.1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их веро- ятности без их произведения.

(1.17)

Д оказательство теоремы можно получить применяя геометрическое определение вероятности. Через обозначим площади , соответствующие ПЭС и событиям А, В, А+В, АВ. Очевидно, что или . Тогда по определению геометрической вероятности получаем

ПР. Прибор состоит из двух блоков, дублирующих друг друга (соединенных параллельно). Найти вероятность без отказной работы прибора, если вероятность безотказной работы 1-го блока равна 0,8, а второго – 0,9.

Данная формула справедлива для любого числа слагаемых.

1.16. Формула полной вероятности. Формула Байеса (терема гипотез)

Пусть событие А может произойти с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий называемых гипотезами, т.е. .Предположим, что известны вероятности этих гипотез . Требуется найти вероятность Р(А).

Теорема 1.2. Пусть события , образуют полную группу несо

вместных событий. Тогда для любого наблюдаемого в опыте

события А имеет место формула полной вероятности или

средней вероятности.

(1.18)

Доказательство: Так как , то в силу операций над событиями , . Из того, что , следует, что , т.е. события и также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей . По теореме умножения вероятностей .

ПР. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий, с вероятностями 0,25,0,35 и 0,4. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий равны, соответственно 0,1,0,2 и 0,3. Определить вероятность того, что случайно взятая лампа проработает заданное число часов.

Следствием формулы (1.17) является формула Байеса (1702-1761, английский священник, математик) или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Н, принятых до опыта и называемых априорными (доопытные) по результатам уже проведенного опыта, т.е.найти условные вероятности , которые называются апостериорными (послеопытные).

Теорема 1.3. Пусть события , образуют полную группу несо-

вместных событий. Тогда условная вероятность при условии, что событие А произошло, задается формула.

. (1.19)

ПР. Найти вероятность того, что лампа из второй партии проработает заданное число часов.

1.18. Независимые испытания схема Бернулли

ОПР. Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые события.

Примерами независимых испытаний могут служить: несколько раз подбрасывания монеты, стрельба по мишени без поправок на ранее допущенную ошибку при новом выстреле, несколько выниманий из урны одинаковых на ощупь занумерованных шаров, если шары каждый раз возвращаются назад в урну.

При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называется схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.

Последовательность n независимых, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (его называется успехом) с вероятностью Р(А) = р или противоположное ему событие (его называют неудачей или промах) с вероятностью , называется схемой Бернулли.

ПР. Стрельба по мишени, обследование изделий на годность.

В каждом опыте ПЭС состоит только из двух элементарных событий, т.е. .Вероятность этих событий обозначают – p, q (p + q=1).Множество всех элементарных исходов для n опытов состоит из элементов (при n=3). Вероятность каждого элементарного события определяется однозначно. По теореме умножения вероятность события равны.