2. Теория возмущений и числа обусловленности задачи

Как вытекает из вышесказанного, результаты, получаемые численными алгоритмами, редко бывают совершенно точными. Чтобы оценить погрешности вычисленных результатов, нужно понимать, в какой степени может измениться (возмутиться) решение задачи при слабом возмущении ее входных данных.

Рассмотрим дифференцируемую функцию одной переменной . Пусть необходимо вычислить , при этом имеется лишь приближенное значение для и границы для ― абсолютной погрешности . Если никакой другой информации нет, то лучшее, что можно сделать, это вычислить и попытаться оценить абсолютную погрешность

.

Для в окрестности имеет место представление [74,77-79]:

, (2.4)

где когда , ― это такая функция, для которой .

Абсолютная погрешность полученного приближенного результата

. (2.5)

Назовем абсолютным числом обусловленности функции в точке . Если число велико, то погрешность может быть большой даже для малого . В этом случае говорят, что плохо обусловлена в точке .

Рассмотрим общий случай. Пусть ― входные данные для некоторой задачи, результатом решения которой является ; ― возмущенные входные данные, а решение задачи, полученное для этих входных данных, ― . Числом обусловленности задачи называется величина, определяемая соотношением [69,70]:

. (2.1)

Расстояния, фигурирующие в формуле (2.1), определяются введением соответствующих метрик в пространствах входных данных и результатов [72,73]. Необходимо отметить, что по смыслу соотношение (2.1) представляет из себя некий аналог абсолютного значения скорости изменения вещественной функции результата в точке [74-81].

Если вернуться к рассмотренной выше функции , то в соответствии с (2.1), в силу ее дифференцируемости

= .

Число названо выше абсолютным числом обусловленности, т.к. оно позволяет оценить абсолютную погрешность , если задана граница для абсолютного изменения входной величины .

Для относительной погрешности результата из (2.5) вытекает оценка:

Множитель является относительным числом обусловленности [53], определяя зависимость относительной погрешности полученного значения от относительной погрешности исходных данных .

Рассмотрим теперь произвольную вещественную функцию , зависящую от переменных с областью определения , ― компакт [74]:

: . (2.6)

Пусть необходимо вычислить значение , но для имеется лишь его приближенное значение и границы для .

Тогда представление, аналогичное (2.4), и оценки, аналогичные (2.5), имеют вид [74]:

,

когда ,

где , когда , ― это такая функция, что

.

, (2.7)

где ― вектор градиента функции в точке ;

― скалярное произведение векторов-аргументов.

Используя в правой части (2.7) неравенство Коши – Буняковского [74], получим:

,

где — векторная 2-норма [53], откуда

. (2.8)

Из (2.8) вытекает, что является абсолютным числом обусловленности задачи вычисления к возмущениям исходных данных.

Число обусловленности – это именно то, что нужно для понимания, как ошибка во входных данных воздействует на вычисленный результат: чтобы получить оценку погрешности вычисленного решения число обусловленности просто умножается на границу входной ошибки.