1.2. Метрологическая обработка результатов измерений.
1.2.1. Случайные величины и способы их описания.
Случайной называют такую величину, которая в зависимости от случая принимает то или иное численное значение. Поскольку закономерности в появлении этих значений нет, анализ таких величин может производится только методами теории вероятности.
Для характеристики случайной величины необходимо знать совокупность возможных значений этой величины, а также вероятности, с которыми эти значения могут появляться.
Полностью свойства случайной величины описываются функцией распределения F(x), которая определяет вероятность того, что случайная величина Х будет меньше, чем x
F(x)=P(X
x
)
(1.14)
где X
-
определенная случайная величина
(реализация), х
- фиксированное значение величины.
Функция распределения неубывающая функция, определенная так, что F()=0, а F()=1.
Наряду с функцией
F(x),
называемой интегральной,
широко применяется дифференциальная
функция, обычно называемая плотностью
распределения
(1.15)
Плотность распределения функция размерная
dim(x)=dim
Плотность распределения указывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х - при повторном опыте
Р(х
х
х
)=
(х)dx=F(x
)-F(x
)
(1.16)
Возмущающее воздействие
Площадь под кривой (х) равна вероятности появления любого из возможных значений х т.е. равна 1.
Для практических целей вместо полного статистического описания свойств совокупности случайных величин х часто ограничиваются только указанием некоторых частных характеристик этой совокупности - моментов распределения - начальных и центральных.
Начальным моментом k-того порядка случайной величины х называют математическое ожидание k -той степени
(1.17)
Среди начальных моментов наиболее важным является первый
(1.18)
Первый начальный момент характеризует положение центра распределения - точки, к которой тяготеет совокупность значений случайной величины (значение х -координаты центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения этой случайной величины).
Центральным моментом k -того порядка случайной величины х называют математическое ожидание k -той степени ее отклонения от среднего значения
(1.19)
Первый центральный момент всегда равен 0
(1.20)
Второй центральный
момент
характеризует рассеивание случайной
величины х
, разброс ее
значений относительно центра группирования
и называется дисперсией D
(1.21)
Размерность дисперсии отлична от размерности случайной величины х , поэтому вместо дисперсии часто применяют положительный корень из нее, который называют средним квадратическим отклонением. (С.К.О)
СКО=
(1.22)
Способы статистического описания свойств случайных величин относятся к их бесконечной совокупности.
Поскольку на
практике число наблюдений n
значений величины х
ограничено,
по данным такой случайной выборки х
х
,…
х
определить истинные значения неизвестных
параметров распределения m
и
невозможно. Вместо их определяется
только их статистические оценки, которые
являясь функциями членов выборки,
отклоняются от истинных значений
соответствующих параметров.
Оценкой истинного значения математического ожидания случайной величины х является среднее арифметической выборки
(1.23)
При большом числе n значений случайной величины х в выборке, оценки их С.К.О. можно вычислять по формуле
(1.24)
Для малых n применяют формулу Бесселя, в которую вводится поправочный множитель для уменьшения смещения
(1.25)
В практике точных измерений чаще всего имеют дело с нормальным распределением результатов измерения.
Для этого распределения функция плотности распределения и интегральная функция:
dx
(1.26)
где
и
- с.к.о. и мат. ожидание случайной величины
х
Особенности нормального распределения
Кривая плотности распределения симметрична относительно ординаты, проходящей через точку m
.Кривая имеет один максимум при x=m
При
ветви кривой асимптотически приближаются
с оси абсцисс.
