Решение:
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности:
Из уравнения получаем либо (что противоречит условию ). Решением уравнения соответствуют две точки единичной окружности, одна из которых лежит в первой четверти (и значит, для нее неравенство не выполняется), а другая — в четвертой четверти (для нее неравенство выполняется, и решение уравнения дается формулой ). Теперь осталось выписать решение простейшего тригонометрического уравнения , т. е. , и записать ответ. Ответ: ; .
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С2 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
2 |
Верно описана геометрическая конфигурация, построен или описан геометрический объект, который нужно найти, но получен неверный ответ или решение не закончено. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
Решение:
Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол — искомый.
где O — центр основания, значит, — средняя линия треугольника ASO потому — AO. Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:
Из прямоугольного треугольника находим:
Значит, искомый угол равен Ответ:
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С3 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
При верной последовательности рассуждений получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. |
2 |
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
Решите неравенство .
Решение:
.
Сделав замену переменной , получаем:
1) 2) Ответ: .
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С4 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ. |
2 |
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=4 и BC=10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM=4 при этом — точка пересечения прямых BM и CM Площадь треугольника MNP равна Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.