12. Кинетическая энергия вращения.

Кинетическая энергия вращающегося тела является суммой кинетических энергий его элементарных объемов W_k.вр. = Sm_iv_i²/2.

Заменяя линейные скорости на угловые, получим

W_k.вр. = (mw²r²)/2 = (mr²w²)/2 = (Jw²)/2,

где J - момент инерции (mr²) относительно оси z. Если тело участвует одновременно в поступательном и вращательном движениях, то энергия движения складывается из энергий двух этих движений.

13. Потенциальная энергия.

Потенциальная энергия - это энергия, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Потенциальная энергия тела массой m на высоте h над Землей W_n = mgh, где высота h отсчитывается от нулевого уровня, на котором W_n = 0. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий W = W_n + W_k.

14. Закон сохранения энергии.

Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то W = W_n + W_k = const.

Энергия не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

15. Момент силы.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу F: М = [r.F].

Здесь M - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

|M| = Fr. sina = F.l,

где l = r.sina - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой ее приложения (плечо силы).

16. Законы ньютона для моментов сил.

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного вращательного движения, если равнодействующая всех моментов сил действующих на это тело равна нулю.

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного вращательного движения называется инертностью.

Момент инерции — физическая величина, определяющая, ее инерциальные свойства при вращательном движении.

Под действием момента сил, тела изменяют свою угловую скорость.

Момент силы характеризуется величиной, направлением и является мерой механического воздействия на тело. Равнодействующей всех моментов сил, действующих на тело, называется векторная сумма всех моментов сил, действующих на тело, М_рез. = SМ_i.= 0.

Угловое ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующему на тело результирующему моменту силе и обратно пропорционально моменту инерции. М_рез. = Iε = dL/dt.

Моменты силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, но никогда не уравновешивают друг друга, поскольку приложены к разным телам, хотя и имеют одну природу.

М₁₂ = - М₂₁.

Момент силы М₁₂, с которой первое тело действует на второе, равен по модулю моменту силы М₂₁, с которой второе тело действует на первое, но противоположен ей по направлению

17. Гармонические колебания.

Колебаниями называются процессы, характеризующиеся повторяемостью во времени. Колебания бывают свободными, если они совершаются за счет собственной энергии при отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшими колебаниями являются гармоническими. Если точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия в начале координат, то зависимость координаты от времени t задается уравнением

х = A_mcos(w₀t + j),

A_m - максимальное значение х (амплитуда колебания), w₀ - круговая (циклическая) частота, j - начальная фаза колебаний в момент времени t =0, (w₀t + j) - фаза колебаний в момент времени t. Так как косинус изменяется от -1 до +1, то х принимает значения от - А до + А. Положения точки повторяются через промежуток времени Т (период), за который фаза колебаний получает приращение 2p.

w₀(t + T) = w₀t + 2p, откуда T = 2p/w₀.

Величина, обратная периоду колебаний, n = 1/T.

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Поэтому w₀ =2pn.

Поскольку скорость является первой производной по времени от координаты, а ускорение второй производной,

v = - Aw₀sin(w₀t + j) = Aw₀cos(w₀t + j + p/2).

a = Aw₀²cos(w₀t + j) = Aw₀ ²cos(w₀t + j + p).

Сила F = - am, действующая на точку массой m, будет равна F = -mw₀²x.

Сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону. Кинетическая энергия точки, совершающей гармонические колебания, равна W_кин. = mv²/2 = [mA₀²w₀²sin²(w₀t +j)]/2.

W_кин. = [mA₀²w₀² {1 - cos2(w₀t +j)}]/4.

Потенциальная энергия точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

W_пот. = - ₀ò^хFdx = (mw₀²x₀²)/2 = [mA₀²w₀²cos²(w₀t +j)]/2.

W_пот. = [mA₀²w₀²{1 + cos²2(w₀t +j)}]/4.

Сумма кинетической и потенциальной энергии дает полную энергию, которая остается постоянной. W_пол. = W_кин. + W_пот. = W_пот. = (mw₀²А₀²)/2,