§36. Ранговая корреляция

Пусть объекты генеральной совокупности обладают двумя качественными признаками и выборка объема содержит независимые объекты, которые будем располагать (ранжировать) в порядке ухудшения (или улучшения) качества. Для оценки степени связи признаков вводят коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла. Рассматривая ранги , , ..., как возможные значения случайной величины , а , , ... , - как возможные значения с.в. , можно вычислить выборочный коэффициент корреляции.

Пример 176. Получить выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена

.

Решение. Примем в качестве условных вариант отклонения , и вычислим выборочный коэффициент корреляции

Тогда и надо найти и .

Найдем и .

Поскольку , то , и

(использовали формулы конечных сумм из [15. С. 72-74]).

Тогда и

Выразим теперь через и .

Отсюда и

Алгоритм применения ранговой корреляции Спирмена для оценки степени связи признаков

Проранжировать значения первой переменной , начисляя ранг 1 наименьшему значению, и записать ранги в первый столбец по порядку номеров испытуемых или по возрастанию ранга, при равных переменных им присваивается одинаковый среднеарифметический ранг.

Проранжировать значения второй переменной по тем же правилам и занести соответствующие ранги во второй столбец.

Подсчитать разности между рангами и по каждой строке и занести их в третий столбец.

Квадраты занести в четвертый столбец и подсчитать их сумму .

При наличии одинаковых рангов рассчитать поправки:

где - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговых рядах и .

Рассчитать коэффициент ранговой корреляции Спирмена по формуле:

а) , при отсутствии одинаковых рангов;

б) при наличии одинаковых рангов

где - количество испытуемых, участвовавших в ранжировании.

7. Определить по таблице критические значения для данного . Если , то корреляция достоверно отличается от 0 (этот пункт будет рассмотрен в следующем параграфе).

Связь между двумя качественными признаками можно оценить, используя выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла:

и - число рангов , ..., , больших .

Если статистическая информация о многомерном признаке представлена в порядковой шкале, то измерение парных связей осуществляется через коэффициенты ранговой корреляции Кендалла или Спирмена.

§37. Статистические гипотезы

На разных этапах статистического исследования возникает необходимость в формулировании и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез). Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Выдвигается основная (нулевая) гипотеза и проверяется, не противоречит ли она имеющимся эмпирическим данным. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.

В результате статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза; вероятность совершить такую ошибку обозначают и называют ее уровнем значимости. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза, вероятность которой обозначают , а мощностью критерия является вероятность .

Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющейся выборкой осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез. Под критической областью понимают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Критическую область при заданном уровне значимости следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения, которую представим на рис. 103.

Рис. 103

1. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. При заданном уровне значимости проверяется нулевая гипотеза, состоящая в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину отношения большей исправленной дисперсии к меньшей

Величина имеет распределение Фишера-Снедекора, которое зависит только от чисел степеней свободы и .

2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных средних рассматриваемых совокупностей с заданными или вычисляемыми дисперсиями. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. По выборочной средней при заданном уровне значимости проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральной средней гипотетическому значению . В качестве проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

которая распределена нормально.

4. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. При заданном уровне значимости проверяется нулевая гипотеза, состоящая в том, что неизвестная вероятность появления события равна гипотетической вероятности серии повторных независимых испытаний.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем случайную величину