- •Часть 2
- •Лабораторная работа № 2 Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины Цель и содержание лабораторной работы №2.
- •§ 1.1 Краткие теоретические сведения.
- •§1.2 План выполнения работы
- •21. Нахождение отношений к общему числу значений случайной величины,
- •§ 1.3 Образец выполнения работы
- •§ 1.4 Контрольные вопросы
- •§1.5 Варианты заданий
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
§ 1.3 Образец выполнения работы
Вариант № 100
Дана средняя заработная плата трактористов колхоза в руб.
xi-xi+1 |
100-150 |
150-200 |
200-250 |
250-300 |
300-350 |
350-400 |
400-450 |
450-500 |
500-550 |
mi |
1 |
3 |
10 |
20 |
33 |
17 |
11 |
4 |
1 |
Выполнение работы.
Этап 1.
1. Представим исходные данные в виде дискретного вариационного ряда.
xi |
125 |
175 |
225 |
275 |
325 |
375 |
425 |
475 |
525 |
mi |
1 |
3 |
10 |
20 |
33 |
17 |
11 |
4 |
1 |
2. Вычислим числовые характеристики. Промежуточные расчеты оформим в виде таблицы.
Таблица №1
xi |
mi |
ui |
mi·ui |
mi·ui2 |
mi·ui3 |
mi·ui4 |
125 |
1 |
-4 |
-4 |
16 |
-64 |
256 |
175 |
3 |
-3 |
-9 |
27 |
-81 |
243 |
225 |
10 |
-2 |
-20 |
40 |
-80 |
160 |
275 |
20 |
1 |
-20 |
20 |
-20 |
20 |
325 |
33 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
375 |
17 |
1 |
17 |
17 |
17 |
17 |
425 |
11 |
2 |
22 |
44 |
88 |
176 |
475 |
4 |
3 |
12 |
36 |
108 |
324 |
525 |
1 |
4 |
4 |
16 |
64 |
256 |
|
|
|
∑=2 |
∑=216 |
∑=32 |
∑=1452 |
Непосредственный подсчет необходимых числовых характеристик
В условных вариантах В исходных вариантах
Этап II.
3. Вычисление теоретических частот рекомендуется выполнять в виде таблицы. Затем, что
Таблица №2
xi |
mi |
|
|
|
|
|
125 |
1 |
-201 |
-2,72 |
0.0099 |
0,67 |
0,7 |
175 |
3 |
-151 |
-2,05 |
0,0488 |
3,31 |
3,3 |
225 |
10 |
-101 |
-1,37 |
0,1561 |
10,58 |
10,6 |
275 |
20 |
-51 |
-0,69 |
0,3144 |
21,31 |
21,3 |
325 |
33 |
-1 |
-0,04 |
0,3986 |
27,01 |
27,0 |
375 |
17 |
49 |
0,66 |
0,3209 |
21,75 |
21,8 |
425 |
11 |
99 |
1,34 |
0,1626 |
11,02 |
11,0 |
475 |
4 |
149 |
2,02 |
0,0519 |
3,52 |
3,5 |
525 |
1 |
199 |
2,70 |
0.0104 |
0,70 |
0,7 |
|
∑=100 |
4. Вычислить наблюдаемого значения рекомендуется выполнять в виде таблицы.
Таблица №3
mi |
|
|
|
|
1 |
0,7 |
0,3 |
0,09 |
0,13 |
3 |
3,3 |
-0,3 |
0,09 |
0,03 |
10 |
10,6 |
-0,6 |
0,36 |
0,03 |
20 |
21,3 |
-1,3 |
1,69 |
0,08 |
33 |
27,0 |
3,0 |
9,00 |
0,33 |
17 |
21,8 |
-4,8 |
23,04 |
1,06 |
11 |
11,0 |
0,0 |
0,00 |
0,00 |
4 |
3,5 |
0,5 |
0,25 |
0,07 |
1 |
0,70 |
0,3 |
0,09 |
0,18 |
|
∑=1,91 |
= 1,91
5.k = 9-3 =6
6. Для нахождения табличного значения зададимся уровнем значимости =0,05, (0,05;6)=12,6
7. Сравним и 1,91<12,6, т.к., > то эмпирические данные не противоречат предположению о нормальном их распределении принимается на уровне значимости 0,05.
8. Для применения критерия Романовского подсчитаем величину выражения
9. Так как 1,18 < 3, то гипотеза о нормальном законе принимается.
10. Для применения критерия Ястремского подсчитаем величину
11. Так как 0,5 < 3, то гипотеза о нормальном законе распределения принимается.
12, 13. Чтобы применить критерий Колмогорова, необходимо подсчитать величину D. Для подсчета накопленных частот и разности между ними составим таблицу.
Таблица №4
|
|
|
|
|
|
|
125 |
1 |
0,7 |
1 |
0,7 |
0,3 |
0,3 |
175 |
3 |
3,3 |
1+3=4 |
0,7+3,3=4,0 |
0,0 |
0,0 |
225 |
10 |
10,6 |
4+10=14 |
4,0+10,6=14,6 |
-0,6 |
0,6 |
275 |
20 |
21,3 |
14+20=34 |
14,6+21,3=35,9 |
-1,9 |
1,9 |
325 |
33 |
27,0 |
34+33=67 |
35,9+27,0=62,9 |
4,1 |
4,1 |
375 |
17 |
21,8 |
67+17=84 |
62,9+21,8=84,7 |
0,7 |
0,7 |
425 |
11 |
11,0 |
84+11=95 |
84,7+11,0=95,7 |
-0,7 |
0,7 |
475 |
4 |
3,5 |
95+44=99 |
95,7+3,5=99,2 |
-0,2 |
0,2 |
525 |
1 |
0,7 |
99+1=100 |
99,2+0,7=99,9 |
-0,1 |
0,1 |
14.
15.
16. По специальной таблице находим
17. Так как 0,9972>0,05, то гипотезу о нормальном законе распределения следует принять.
Этап III.
18. Приближенная проверка с использованием
19. Вычисление границ
326 + 22,13 → ]303,87; 348,13[
326 + 51,65 → ]274,35; 377,65[
326 + 81,16 → ]244,84; 407,16[
326 + 221,34 → ]104,66; 547,34[
20. Подсчитаем число значений попавших в последний интервал , остальные вычисления сделать самостоятельно.
21. Сравниваем ]104,66; 547,34[ с диапазоном всех возможных значений xi, которые, как видно из вариационного ряда, составляет ]125; 525[. Данный промежуток значения полностью укладывается в ]104,66; 547,34[ т.е. .
Остальные отношения проверить самостоятельно. Далее делать самостоятельно вывод (за пояснениями обратиться к §1.1)
22. Приближенная проверка с использованием as и ek.
23. Подсчитаем несмещенные оценки.
24. Вычислим средние квадратические отклонения ,
;
25. Проверим выполнимость условий.
|0,09| ≤ 3 ∙ 0,24
|0,13| ≤ 5 ∙ 0,23
Вывод. Изучаемое эмпирическое распределение скорее всего подчиняется нормальному закону распределения.
Графическая проверка.
26. Перейдем от дискретного вариационного ряда к интервальному, учитывая, что данные значения вариант есть середины интервалов, длины которых равны h=50.
xi |
125 |
175 |
225 |
275 |
225 |
375 |
425 |
475 |
525 |
mi |
1 |
3 |
10 |
20 |
33 |
17 |
11 |
4 |
1 |
100-150 |
150-200 |
200-250 |
250-300 |
300-350 |
350-400 |
400-450 |
450-500 |
500-550 |
1 |
3 |
10 |
20 |
33 |
17 |
11 |
4 |
1 |
27.28.29. Составим расчетную таблицу, для подсчета накопленных частот и нахождения квантилей.
i |
xi |
mi |
|
|
|
|
1 |
150 |
1 |
1 |
0,01 |
1 |
-2,326 |
2 |
200 |
3 |
4 |
0,04 |
4 |
-1,751 |
3 |
250 |
10 |
14 |
0,14 |
14 |
-1,080 |
4 |
300 |
20 |
34 |
0,34 |
34 |
-0,412 |
5 |
350 |
33 |
67 |
0,67 |
67 |
0,440 |
6 |
400 |
17 |
84 |
0,84 |
84 |
0,994 |
7 |
450 |
11 |
95 |
0,95 |
95 |
1,645 |
8 |
500 |
4 |
99 |
0,99 |
99 |
2,054 |
9 |
550 |
1 |
100 |
1,00 |
100 |
3,00 |
30. В прямоугольной системе координат построим точки с координатами : (150; -2,326), (200; -1,751), (250; -1,080), (300; -0,412), (350; 0,440), (400; 0,994), (450; 1,645), (500; 2,054), (550;3,090)
Этап IV
31. Чтобы наглядно убедиться о величине расхождений построим соответствующие графики.
Замечание: точки теоретического распределения соединены плавной линией, эмпирического – ломаной.
: (125;1), (175;3), (225;10), (275;20), (325;33), (375;17), (425;11), (525;1), (475;4)
: (125;1), (175;3), (225;11), (275;21), (325;27), (375;22), (425;11), (475;3), (525;1)
За приняты приближенные значения.